notas de analisis

Notas de An´lisis
a
Dr. Richard G. Wilson
Departamento de Matem´ticas,
a
Universidad Aut´noma Metropolitana-Iztapalapa
o
comentarios: rgw@xanum.uam.mx
Marzo del 2005

2

Contenido
1
2

Topolog´ de espacios m´tricos
ıa
e

5

Continuidad y continuidad uniforme
17
2.1 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Continuidad Uniforme . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Completez y Compacidad
21
3.1 Completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Espacios de Funciones Continuas
35
4.1 El Espacio C(X) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Algunas Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

4

CONTENIDO

Capitulo 1

Topolog´ de espacios
ıa
m´tricos
e
El concepto de una m´trica es una generalizaci´n del concepto de distancia en
e
o
un espacio Euclideano, como R, R2 ´ R3 .
o
Definici´n 1.0.1. Una m´trica en un conjunto X es una funci´n d : X × X →
oe
o
[0, ∞) que cumple con los siguientes axiomas:
i) Para cada x, y ∈ X , d(x, y ) = d(y, x),
ii) d(x, y ) = 0 si y solo si x = y , y
iii) Para cada x, y, z ∈ X , d(x, y ) ≤ d(x, z ) + d(z, y ).
La primera condici´n dice que la distancia de x a y debe ser la misma que la
o
distancia de y a x; la segunda dice que la distancia entre un punto y si mismo
es 0, y la distancia entre puntosdistintos es positiva, y la tercera se llama la
desigualdad triangular y dice que el largo del tercer lado de un triangulo es
menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.
Un conjunto X con una m´trica d se llama un espacio m´trico y se escribe
e
e
(X, d). A continuaci´n, vamos a investigar las propiedades topol´gicas de un
o
o
espacio m´trico, es decir propiedadesrelacionados con los conceptos de conjuntos
e
abiertos y conjuntos cerrados y convergencia de sucesiones.
Si d es una m´trica en un conjunto X , la bola abierta de radio , centro en
e
x es el subconjunto
B (x) = {y ∈ X : d(x, y ) < }.
En forma semejante, la bola cerrada de radio , centro en x es el subconjunto
B − (x) = {y ∈ X : d(x, y ) ≤ }.
5

6

CAPITULO 1.

´
TOPOLOG´ DE ESPACIOSMETRICOS
IA

Definici´n 1.0.2. Sea (X, d) un espacio m´trico; Un conjunto A ⊆ X es
o
e
abierto si para cada punto x ∈ A podemos encontrar > 0 tal que B (x) ⊆ A.
La colecci´n de subconjuntos abiertos de un espacio m´trico (X, d) se denotar´
o
e
a
por τd . Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto.
En general en un espacio m´trico habr´ subconjuntos que no son ni abiertos
e
a
nicerrados.
Tarea. Demostrar que Q no es abierto ni cerrado en (R, | |).
L´gicamente una bola abierta debe ser un conjunto abierto, pero esto no es
o
inmediatemente obvio. No obstante, es una consecuencia sencilla de los axiomas
de una m´trica: Suponer que z ∈ B (x), entonces d(x, z ) = r < . Si ponemos
e
δ = − r, entonces δ > 0 y si w ∈ Bδ (z ), tenemos d(w, z ) < δ y entonces ladesigualdad triangular implica que d(w, x) ≤ d(w, z ) + d(z, x) < δ + r = , o
sea, w ∈ B (x). As´ hemos demostrado que Bδ (z ) ⊆ B (x) y en consecuencia,
ı
B (x) es abierto.
Tarea. Demostrar que una bola cerrada es un conjunto cerrado.
Teorema 1.0.3. La uni´n de conjuntos abiertos es abierta y la intersecci´n de
o
o
un n´mero finito de conjuntos abiertos es abierta. Tanto X como ∅ son abiertos.
uDemostraci´n: Suponer que I = ∅ y Ai ⊆ X es abierto para cada i ∈ I . Se
o
requiere demostrar que A = {Ai : i ∈ I } es abierto. Con este fin, suponer
que x ∈ A; entonces x ∈ Aj para alg´n j ∈ I . Puesto que Aj es abierto, existe
u
> 0 tal que B (x) ⊆ Aj . Pero entonces B (x) ⊆ A, as´ demostrando que A es
ı
abierto.
Ahora suponer que F es un conjunto finito no vacio y Ak es abierto para...