Notas De Calculo Diferencial

UNIDAD DE COMPETENCIA 1. PRELIMINARES
1.1 LOS NÚMEROS REALES
1.1.1 LA RECTA NUMÉRICA REAL
 DEFINICIÓN DE NÚMERO REAL
El cálculo se basa en el sistema de los números reales y en sus propiedades.
Considérese el conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden
medir longitudes, junto con sus negativos y el cero. Estos números se llaman números
reales. e incluyen a todas lasdecimales (periódicas y no periódicas).

DEFINICIÓN DE NÚMERO REAL

Número real es aquel que se puede expresar en forma decimal (finita, periódica infinita o
no periódica infinita).
Existen símbolos estándar para identificar los números reales. De aquí en adelante, N
designará al conjunto de los números naturales (enteros positivos), Z designará al
conjunto de los enteros, Q (cociente de enteros) alde los números racionales y R al de
los reales. El conjunto de todos los números reales puede clasificarse como se sugiere en
el esquema siguiente,

Razones de Enteros


 (positivas y negativas)




Racionales 
positivos (naturales)



Enteros 
Números Reales
cero



negativos





Irracionales


(positivos y negativos)

El sistema numérico se puede extender aún más conlos números complejos. Estos son
de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i =

− 1 se llama la unidad

imaginaria. Estos números no se usarán en este curso. En realidad, cuando se diga
número sin algún adjetivo calificativo se supondrá que es un número real. Así, los
números reales son los personajes principales en cálculo.

1

 LA RECTA NUMÉRICA REAL
Es posible asociar el conjuntode los números reales con el conjunto de los puntos en una
recta l de modo que a cada número real a le corresponda un punto y uno solo de l; y
recíprocamente, que a cada punto P de la recta l le corresponda exactamente un número
real. Esta asociación entre dos conjuntos se llama correspondencia uno a uno (o
biyectiva).
Para representar los números reales en esta recta, primeramente, se escoge unpunto
arbitrario llamado origen y se le asocia el número real 0. Los puntos asociados a los
enteros quedan determinados al marcar segmentos de recta sucesivos de igual longitud a
cada lado de 0, como se ilustra en la figura 1.1. Los puntos correspondientes a números
3
4
o − , se obtienen subdividiendo los segmentos de recta de igual
racionales como
2
3
2 , se pueden
longitud. Los puntos asociados aciertos números irracionales, como
localizar por construcción geométrica. Para otros números irracionales como π, no es
posible hacer ninguna construcción. A todo número irracional le corresponde un punto
único en l, y recíprocamente, todo punto que no está asociado a un número racional
corresponde a un número irracional.

x
-4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

Figura 1.1. La recta real

El número a queestá asociado al punto A en l se llama coordenada de A. El método de
asignación de coordenadas a puntos en l se llama sistema coordenado para l, y l se
denomina recta numérica real. Se puede asignar una dirección a l (supuesta horizontal)
considerando la dirección positiva hacia la derecha de la recta y la dirección negativa
hacia la izquierda de la misma. La dirección positiva se identifica por laflecha en el
extremo de l, como se muestra en la figura 1.1.
Los números que corresponden a puntos del lado derecho de 0 en la figura 1.1, se llaman
números reales positivos, y los que corresponden a puntos a la izquierda de 0, números
reales negativos. Por número real no negativo entenderemos un número real que es
positivo o cero. Análogamente, por número real no positivo se entenderá un númeroque
es negativo o cero. El número real 0 no es ni positivo ni negativo.
1.1.2 AXIOMAS DE CUERPO Y AXIOMAS DE ORDEN
Se está ahora en condición de presentar un conjunto de axiomas que caracterizan al
conjunto de los números reales. Se separarán los axiomas en dos grupos. El primer grupo
constituye los axiomas de cuerpo.

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Se supone que el sistema de los números reales es un conjunto R de...