Notas de calculo multivariable y ejemplos

Notas del curso de C´lculo
a
Multivariable.

Alumno: Francisco Javier Alonso Montemayor.
Profesor: Jos´ Carlos Ortiz Cisneros.
e
Semestre: Quinto.
Carrera: Ingenier´ Qu´
ıa
ımica.
Universidad Aut´noma de Coahuila.
o
Facultad de Ciencias Qu´
ımicas.
Carrera: Ingenier´ Qu´
ıa
ımica.

´
Indice del documento.
1. Tema 1 - C´lculo de la distancia entre dos puntos en el
aespacio.
2. Tema 2 - Determinaci´n de la longitud de una recta en el
o
espacio.
3. Tema 3 - Determinaci´n del vector formado por los puntos en
o
el espacio. Y el c´lculo de su magnitud y su direcci´n.
a
o
4. Tema 4 - Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio y
sistema de coordenadas cil´
ındricas.
5. Tema 5 - Sistema de coordenadas circulares.
6. Tema 6 - Graficaci´n de funciones detres variables usando el
o
mallado.
7. Tema 7 - Derivaci´n parcial de funciones con tres variables.
o
8. Tema 8 - Derivaci´n parcial como funci´n de otra derivada
o
o
parcial.
9. Tema 9 - Determinaci´n de la ecuaci´n del plano tangente a
o
o
una superficie conociendo el punto de tangencia.
10. Tema 10 - La regla de la cadena en funciones lineales, planas y
espaciales.
11. Tema 11 -Derivadas parciales impl´
ıcitas.
12. Tema 12 - Diferencial total.
13. Tema 13 - Derivada direccional.
14. Tema 14 - Multiplicadores de LaGrange para determinar el
valor m´ximo de una funci´n.
a
o
15. Tema 15 - Productos triples.
16. Tema 16 - Triple producto vectorial.
17. Tema 17 - Ecuaci´n param´trica de la recta.
o
e
18. Tema 18 - Proyecci´n ortogonal.
o
19. Tema 19 -Divergente.
20. Tema 20 - Gradiente.
21. Tema 21 - Rotacional.
22. Tema 22 - Normal unitaria asociada a un vector.
23. Tema 23 - Permutaciones (tensores alternantes).
24. Tema 24 - Transformaci´n de ecuaciones.
o
25. Tema 25 - Integrales multiples.
26. Bibliograf´
ıa.

3

1.

Tema 1 - C´lculo de la distancia entre dos puntos en el
a
espacio.
1.1. Caracter´
ısticas del objeto de estudio:Los puntos en el espacio: Son los datos (Pn ) que est´n
a
coordenados en los tres ejes (Xn , Yn , Zn ) del espacio
respectivamente a cada dato.
Distancia (d) entre los puntos en el espacio: Es la longitud que
hay entre dos puntos (P1 y P2 ) √ el espacio, se puede
en
determinar por la formula d = X 2 + Y 2 + Z 2 donde
X = X2 − X1 , Y = Y2 − Y1 y Z = Z2 − Z1 .
1.2. Ejemplos del objeto deestudio:
Encuentra la distancia entre los siguientes puntos:
a)A(3, 2, 7) y B(5, 6, 2)
b)M (1, −3, 0) y N (−4, 2, −3)
3
c)P (3, −5, 6) y Q( 1 , 5, 4 )
2
(5 − 3)2 + (6 − 2)2 + (2 − 7)2

d(a) =

d(a) = (2)2 + (4)2 + (−5)2
√
d(a) = 4 + 16 + 25
√
d(a) = 45
d(b) =

(−4 − 1)2 + (2 + 3)2 + (−3 − 0)2

d(b) = (−5)2 + (5)2 + (−3)2
√
d(b) = 25 + 25 + 9
√
d(b) = 59

d(c) =

1
3
(− 3)2 + (5 + 5)2 + ( − 6)2
2
4
5
21
(− )2 + (10)2 + (− )2
2
4
25
441
+ 100 +
d(c) =
4
6
2141
d(c) =
16

d(c) =

4

2.

Tema 2 - Determinaci´n de la longitud de una recta en
o
el espacio.
2.1. Caracter´
ısticas del objeto de estudio:
La longitud (L): Es la distancia entre dos puntos
correspondientes a la misma dimensi´n.
o
La recta: Es una l´
ınea no curva de puntos.Por lo tanto la longitud (L) de la recta que est´ limitada por
a
√
2 + Y 2 + Z 2 donde
puntos conocidos(P1 y P2 ) es la X
X = X2 − X1 , Y = Y2 − Y1 y Z = Z2 − Z1 ; los puntos
conocidos (Pn ) contienen las coordenadas rectangulares
correspondientes (Xn , Yn Y Zn ) a cada uno de ellos.
2.2. Ejemplos del objeto de estudio:
Determine la longitud (L) de la recta limitada por los puntosA(1,3,4) y B(5,7,8).
L=

(5 − 1)2 + (7 − 3)2 + (8 − 4)2
L=
L=

(6)2 + (4)2 + (4)2
√

36 + 16 + 16

L=

√

5

68

3.

Tema 3 - Determinac´n del vector formado por los
o
puntos en el espacio. Y el c´lculo de su magnitud y su
a
direcci´n.
o

3.1. Caracter´
ısticas del objeto de estudio:
El vector (V ): Es una serie de puntos limitada por dos puntos
(P1 y P2 )...