Notas de clase series de tiempos

ECONOMETRÍA II UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
Milena Hoyos G. Primer semestre de 2009

1.

MÓDULO: ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO UNIVARIADAS
Procesos estocásticos y series de tiempo

1.1.

Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias asociadas a un conjunto de índice de números reales, que generalmente son el tiempo. Una serie de tiempoes una realización de un proceso estocástico.

1.2.

Uso de operadores y polinomios de retraso

Operador de retraso. Se de…ne mediante la relación B k Zt = Zt
k

para k = 0; 1; : : : ; y toda t

donde B es el operador de retraso y Z es una variable aleatoria. La expresión anterior signi…ca que al aplicarse el operador de retraso B k a Zt se obtiene la variable retrasada k periodos.Ejemplo: En el Cuadro 1 se presentan los datos mensuales del índice de tasa de cambio real de Colombia para el periodo enero de 2006 a julio de 2007, denotado por la serie de tiempo Zt . Adicionalmente se muestran las nuevas series Wt ; Xt y Yt de…nidas como Wt = BZt ; Xt = B 2 Zt y Yt = B 12 Zt :

1

Cuadro 1: Operador de retraso para la serie ITCR Fecha ene-06 feb-06 mar-06 abr-06 may-06 jun-06jul-06 ago-06 sep-06 oct-06 nov-06 dic-06 ene-07 feb-07 mar-07 abr-07 may-07 jun-07 jul-07

Zt
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47 88.82 91.01

Wt = BZ t
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47 88.82

Xt = B 2 Zt

Yt = B 12 Zt103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.47 103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76

Operador diferencia. Se de…ne como rk Zt = (1 B)k Zt para k = 0; 1; : : : ; y toda t

donde r es el operador diferencia y Z es una variable aleatoria. Ejemplo: En el Cuadro 2 se presentan los datos mensuales del índice de tasa decambio real de Colombia para el periodo enero de 2006 a julio de 2007, denotado por la serie de tiempo Zt y la serie Mt de…nida como Mt = rZt :

Polinomio de retraso. Se expresa como G(B)Zt = Zt g1 Zt
1

g2 Zt

2

gk Zt

k

para k = 0; 1; : : : y toda t

donde G(B) = (1 g1 B g2 B 2 gk B k ) es el polinomio de retraso, los coe…cientes g1 ; :::; gk son constantes que ponderan laimportancia de los retrasos con los que están asociados y Z es una variable aleatoria. 2

Cuadro 2: Operador diferencia para la serie ITCR Fecha ene-06 feb-06 mar-06 abr-06 may-06 jun-06 jul-06 ago-06 sep-06 oct-06 nov-06 dic-06 ene-07 feb-07 mar-07 abr-07 may-07 jun-07 jul-07

Zt
103.73 103.37 102.96 106.51 109.97 113.91 113.76 108.41 108.35 107.51 104.60 103.87 102.61 101.78 100.37 97.61 92.4788.82 91.01

Mt = Z t Z t
-0.36 -0.41 3.55 3.46 3.94 -0.15 -5.35 -0.06 -0.84 -2.91 -0.73 -1.26 -0.83 -1.41 -2.76 -5.14 -3.65 2.19

1

Ejemplos: 1. Promedios Móviles: Zt = (1 1B Zt = (B)at 2. Autorregresivos: 2 (1 1B 2B (B)(Zt ) = at
2 q )a t

2B

qB

pB

p )(Z t

) = at

3. Autorregresivos de promedios móviles: (B)(Zt ) = (B)at 4. Autorregresivos integrados y de promediosmóviles: (B)rd Zt = (B)at

3

1.3.

Procesos estocásticos lineales

El proceso estocástico fZt g es lineal si puede ser expresado en función del proceso de ruido blanco fat g mediante la relación Zt = Zt = + at
1 at 1 2 at 2

+ (B)at

donde es el parámetro que determina el nivel del proceso fZt g y (B) es el polinomio de retraso. Un proceso estocástico independiente e idénticamentedistribuido (iid), cuya media es constante (usualmente cero) y cuya varianza es 2 se conoce como proceso de ruido a blanco fat g iid( ; 2 ) a

1.4.

Procesos estacionarios

Un proceso es estacionario en sentido débil si sus momentos de primer y segundo orden, es decir su media, varianza y covarianzas, no dependen del tiempo. Un proceso estocástico es estrictamente estacionario si la función de...