notas de conjuntos

Conjuntos
H. Sira-Ram´ırez †
†CINVESTAV-IPN
Departamento de Ing. El´
ectrica
Secci´
on de Mecatr´
onica
M´
exico, D.F., M´
exico
Ciudad de M´
exico, Junio 2013

Conjuntos
Definici´
on
Un conjunto es una colecci´
on bien definida de
objetos. Los objetos que constituyen un conjunto (conocidos tambi´
en como elementos o
miembros del conjunto) pueden ser de cualquiernaturaleza: n´
umeros, gente, letras del alfabeto, otros conjuntos, etc. George Cantor el
fundador de la teor´ıa de Conjuntos di´
o la siguiente definici´
on de conjunto:
Un conjunto es una reuni´
on en un todo de objetos definidos, distintos, de nuestra percepci´
on
y de nuestro pensamiento que reciben el nombre de elementos del conjunto.
Convencionalmente, se designan los conjuntos
medianteletras may´
usculas.
Dos conjuntos A y B son iguales si y solamente
si tienen los mismos elementos.
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En lugar de la definici´
on precedente, la cual
demostr´
o ser inconveniente para el formalismo
matem´
atico; la noci´
on de “conjunto” se toma,
en la teor´ıa axiom´
atica de conjuntos, como un
concepto primitivo no definido y sus propiedades
se definen mediante los llamados axiomasde
Zermelo-Frankel.
Las propiedades b´
asicas son: 1) que un conjunto pos´
ee elementos y 2) que dos conjuntos
son iguales (es decir son uno y el mismo) si
y solamente si cada elemento de uno es un
elemento del otro.

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La descripci´
on de los Conjuntos
Existen dos formas de describir, o especificar
los miembros de un conjunto. Una forma es la
definici´
on intensiva, usando unaregla de descripci´
on sem´
antica. Por ejemplo:
A es el conjunto cuyos miembros son los cuatro
primeros enteros positivos
B es el conjunto de colores de la Bandera Mexicana.
La segunda forma es por extensi´
on, es decir,
enlistando cada uno de los miembros del conjunto. La definici´
on extensiva se hace encerrando la lista de los miembros mediante llaves,
C = {4, 2, 1, 3}, D = {verde,blanco, rojo}.
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Todo elemento de un conjunto ha de ser ´
unico;
dos miembros no pueden ser id´
enticos. (Un
multi-conjunto constituye un concepto generalizado que relaja este criterio). Todas las
operaciones preservan esta propiedad. El orden en que los elementos de un conjunto o
de un multiconjunto se enlisten es irrelevante
(distinto a como se hace en una sucesi´
on o
“tupla”).Combinando estas dos ideas en un
ejemplo tenemos:

{6, 11} = {11, 6} = {11, 6, 6, 11}.
por cuanto la especificaci´
on extensiva simplemente significa que cada uno de los elementos
enlistados es un miembro del conjunto.

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Para los conjuntos con muchos elementos, la
enumeraci´
on de los miembros puede ser abreviada. Por ejemplo, el conjunto de los mil
primeros enteros positivos puedeespecifcarse
por extensi´
on como :

{1, 2, 3, ..., 1000}
donde los puntos suspensivos indican que la
lista contin´
ua en la forma obvia. Los puntos
suspensivos pueden usarse en aquellos casos
donde los conjuntos tienen un n´
umero infinito
de miembros. As´ı, el conjunto de enteros positivos pares puede escribirse como:

{2, 4, 6, 8, ...}
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La notaci´
on con llaves puede usarsetambi´
en en
la especificaci´
on intensiva de un conjunto. En
esta modalidad, las llaves tienen el significado
de : “el conjunto de todos...”. As´ı;
E = {simbolos de cartas} = {♣, ♦, ♥, ♠}
Una forma m´
as general es la notaci´
on constructiva, mediante la cual, por ejemplo, el conjunto F de los veinte enteros m´
as peque˜
nos
que son inferiores en cuatro unidades a cuadrados perfectos,puede expresarse mediante:

F = {n2 − 4 : n es un entero; y 0 ≤ n ≤ 19}
En esta notaci´
on los dos puntos “ : ” significan: “tal que” y la descripci´
on puede interpretarse como “F” es el conjunto de todos los
miembros de la forma n2 − 4 tal que n es un
n´
umero entero en el rango de 0 a 19 inclusive.
Algunas veces se usa la barra vertical “ | ”, en
lugar de los dos puntos.
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Otros...