Notas de ecuaciones diferenciales elementales

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA MADRE Y MAESTRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
SANTIAGO, REPUBLICA DOMINICANA

NOTAS DEL CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT - 411

L. Henríquez

LECCION No 1

Introducción

¿Tú recuerdas?

1. ¿Cuál de estas dos expresiones es una ecuación: 2x – 10 = 4 o 5x – 7 > 3?
2. ¿Cómo resuelve la ecuación 2x – 10 = 4?
3. ¿Cuántas solucionestiene la ecuación 2x – 10 = 4?
4. ¿Cómo resuelve la ecuación x2 - 4x - 5 = 0?
5. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación x2 - 4x - 5 = 0?
6. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación y - x2 + 4x + 5 = 0?
Definiciones básicas

Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran diferenciales o derivadas. Tienen la forma general, si son ordinarias, como

F(x, y,y’, y”,…[pic] ) = 0, donde y’ = [pic], y” = [pic], …[pic] = [pic]

1.1 Clasificación:

a) Según el orden: el orden de la e.d. es el orden de la derivada de mayor orden en la ecuación.

b) Ordinarias, como y” + 5y’ + 6y = 0, y” - [pic], [pic], y e.d. en derivadas parciales, como [pic].

c) Lineales y no lineales: Una ec. dif. lineal de orden n es de la forma[pic][pic][pic][pic]…[pic][pic][pic][pic],
donde los coeficientes P y la función Q están en función de x solamente, [pic]
Si la e.d. no es de esta forma se dice que es no lineal. Por ejemplo y” - [pic].

|Los siguientes ejemplos fueron tomados de la web del Prof G. Figueroa, Instituto Tecnológico de Costa Rica |Escuela de Matemática|, M. Sc. Geovanni ||Figueroa M. |

Ejemplo 1: La ecuación diferencial [pic]
es de primer orden, no lineal y no homogénea. Esta ecuación surge en sicología y representa un modelo del aprendizaje. La variable y representa el nivel de habilidad del individuo como una funcióndel tiempo [pic]. Las constantes p y [pic]dependen del individuo considerado y de la naturaleza de la tarea que se este aprendiendo.
Ejemplo 2: La ecuación [pic]
es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor [pic], un resistor [pic] y un capacitor [pic], al cual seaplica una fuerza electromotriz E(t).
Ejemplo 3: La ecuación [pic]
es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea.
Ejemplo 4: La ecuación [pic]
es de primer orden, no lineal y no homogénea.
Ejemplo 5: La ecuación [pic]
es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea.
El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en elsiguiente ejemplo. Ejemplo  6: La ecuación [pic]
se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en [pic] y de segundo orden en [pic].
Ejemplo 7: La ecuación

se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en [pic]e y.
Ejemplo 8: La ecuación [pic]
se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en [pic], y, [pic].
Las ecuaciones de Laplace, de calor y deonda poseen un importante significado en física teórica y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matemáticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales parciales aparecen en problemas relacionados con campos eléctricos, dinámica de fluidos, difusión y movimiento ondulatorio. Su teoría es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente másdifícil en casi todas sus facetas.

1.2 La solución general de un e.d. de orden n es una familia de funciones con n parámetros (las constates de integración) que al sustituirse en la e.d. reduce la misma a una identidad. A partir de las llamadas condiciones iniciales, es decir, y([pic]), y’(x[pic]), y”(x[pic]), etc., se determinan las soluciones particulares. Una solución particular es una...