notas de geometria algebraica

Notas de geometr´a algebraica
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Notas de geometr´a algebraica
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Felipe Zald´var
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c Felipe Zald´var
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Indice general
Introducci´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
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Cap´tulo 1.Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1. El espacio af´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. El teorema de los ceros deHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Morfismos entre variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
13
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Cap´tulo 2. Variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1. El espacio proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
2.2. Morfismos entre variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
39
55
57
65
68
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Cap´tulo 3. Dimensi´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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3.1. Dimensi´ n de variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2. El teorema del ideal principal y la dimensi´ n de Krull . . . . . . . . . . . . . . 82
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Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3. El lema de normalizaci´ n de Noether . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
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Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4. Dimensi´ n de variedades proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
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Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5. Dimensi´ n y morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
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Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Cap´tulo 4. Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 113
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4.1. Espacios tangente, puntos lisos y puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2. El espacio tangente de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Ejercicios . . . . . . . . . . . . ....