Notas De Lógica Matemática

Lógica Matemática

Universidad Veracruzana

Facultad de Matemáticas

Jesús Hernández Hernández 27 de junio de 2011

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Índice general
Introducción 1. Proposiciones
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Proposiciones y Conectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tablas de verdad y formas proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Equivalencia, formas proposicionales comunes y demás conectores Equivalencias y propiedades de GRAN importancia

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2. Cuanticadores
2.1. 2.2. 2.3. Tipos de cuanticadores Uso de los cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencias y Negaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Demostraciones Matemáticas
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. Herramientas de demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostración por Vacuidad Demostración por Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostración Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostración por Contrapositiva

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Demostración por Contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demostraciones con cuanticadores

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Introducción
Aún cuando las matemáticas son tanto una ciencia como un arte, hay algo que las distingue completamente de lasdemás ciencias, esto es su manera de razonamiento. En las demás ciencias, los cientícos hacen observaciones de casos particulares y luego buscan una teoría general. A esto se le llama razonamiento inductivo; va de lo particular a lo general. Los matemáticos también utilizan frecuentemente el razonamiento inductivo, mas sin embargo, el pensamiento característico de ellos es el razonamientodeductivo, en el cual usando la lógica se llegan a conclusiones basadas en proposiciones tomadas como verdaderas. Si por algún motivo las conclusiones son falsas probablemente se debió a la falsedad de las proposiciones iniciales. Así como la delidad de un instrumento de medición depende de si está bien calibrado (lo que sea que esto nos sugiera), así también la veracidad de una conclusión depende de laveracidad de la premisa, pero de esto se desprende lo siguiente: se necesitan tener premisas que sean consideradas verdaderas sin cuestionamiento (en nuestra analogía sería considerar tener un objeto base que nos ayude a calibrar el instrumento de medición, el cual daremos por hecho que está correcto), ya que de lo contrario, se necesitarían premisas verdaderas anteriores a esas para de ahíconcluir las primeras, pero entonces se tiene el mismo predicamento con las nuevas premisas verdaderas, lo cual nos conduce tarde o temprano a paradojas, que son hoyos en la lógica, grupos de premisas y conclusiones que se retroalimentan (en la analogía sería como querer calibrar una balanza con una pesa cuyo masa fue medida con la misma balanza que se intenta calibrar). Durante muchos años la lógicamatemática tuvo dicultades para poder establecerse, ya que se intentaron por varios métodos crear un sistema infalible (lógicamente hablando); el problema es que muchos de los sistemas tarde o temprano cayeron en paradojas, o bien, se podían demostrar teoremas completamente contrarios entre sí. En estas notas intentaremos dar un breve recorrido para que el alumno tenga una idea en general de unade las herramientas principales de las matemáticas. Con gusto se recibirán dudas y correcciones acerca de lo incluido en este libro.

Jesús Hernández Hernández

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Capítulo 1 Proposiciones
Los lenguajes naturales como el español o el inglés, permiten muchos tipos de enunciados; en particular, una proposición es un enunciado que es, ya sea verdadero o falso, valores de verdad que...