Notas de probabilidad

Notas de Probabilidades y Estadística
Capítulos 1 al 12

Víctor J. Yohai
vyohai@dm.uba.ar Basadas en apuntes de clase tomados por Alberto Déboli, durante el año 2003 Versión corregida durante 2004 y 2005, con la colaboración de María Eugenia Szretter 5 de Marzo de 2008

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Índice general
1. Espacios de Probabilidad. 1.1. Experimentos aleatorios. Algunas consideraciones heurísticas.1.2. Axiomas de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. σ− Álgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Espacios de Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. σ− Álgebra generada por una familia de conjuntos. . . . . . . 1.4. Espacios de probabilidad finitos o numerables. . . . . . . . . . 1.5. Probabilidad condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1.6. Independencia de eventos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 10 18 21 23 25

2. Variable Aleatoria. 31 2.1. Concepto de variable aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Espacio de probabilidad asociado a una variable aleatoria. . . 32 2.3. Función de distribución de una variable aleatoria. . . . . . . . 35 3. Variables aleatorias discretas y continuas. 41 3.1.Variables aleatorias discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Ejemplos de distribuciones discretas. . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1. Distribución Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2. Distribución Binomial Negativa (o Distribución de Pascal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3. Distribución Geométrica. . . . . . . . . . . . . . .. . 46 3.2.4. Distribución Hipergeométrica. . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.5. Distribución de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.6. Gráfico de la función de distribución asociada a una variable aleatoria discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Variables aleatorias absolutamente continuas. . . . . . . . . . 49 3.4. Ejemplos de distribuciones continuas. . . . . . . . . .. . . . . 53 3.4.1. Distribución uniforme en un intervalo. . . . . . . . . . 53 3.4.2. Generación de distribuciones a partir de la distribución uniforme en [0,1] ¡. . . ¢ . . . . . . . . . . . . . . 55 . 2 . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4.3. Distribución Normal N µ, σ 3.4.4. Distribución Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3

3.5. Variables aleatorias mixtas. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4. Vectores aleatorios. 4.1. Definición de vector aleatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Espacio de probabilidad inducido. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Función de distribución conjunta de un vector aleatorio. . . . 4.4. Algunas propiedades de vectores aleatorios. . . . . . . . . . . 4.5. Independencia de variables aleatorias. . . . . . . . . . . . . . 4.5.1.Algunas consideraciones heurísticas. . . . . . . . . . . 4.5.2. Conservación de la independencia por transformaciones. 4.5.3. Independencia de vectores aleatorios. . . . . . . . . . .

65 69 69 70 71 78 80 80 86 86

5. Vectores aleatorios discretos y continuos. 89 5.1. Vectores aleatorios discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.1.1. Función de densidad de probabilidad conjunta. . . .. 91 5.1.2. Caracterización de la función de densidad marginal asociada a un subconjunto de variables. . . . . . . . . 92 5.2. Ejemplos de vectores aleatorios con distribución discreta. . . 94 5.2.1. Distribución Multinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2.2. Distribución Hipergeométrica Multivariada. . . . . . . 96 5.3. Vectores Aleatorios de tipo absolutamente continuo. . . . . . 98 6.Transformaciones de variables y vectores aleatorios. 6.1. Transformaciones monótonas de variables aleatorias. . . . . 6.1.1. Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Transformaciones inyectivas de vectores aleatorios. . . . . . 6.3. Algunas aplicaciones a la distribución normal. . . . . . . . . 6.4. Transformaciones no inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1....