Notas de teoria de la medida e integral de lebesgue
Páginas: 143 (35647 palabras)
Publicado: 22 de mayo de 2011
Notas de teoria de la medida
Jesús Armando Baldenebro Obeso Universidad Autónoma de Querétaro. Agosto 2006
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Índice general
1. Espacios medibles y sigma-álgebras 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sigma-álgebras . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones medibles . . . . . . . . . 1.4. Funciones de valor complejo . . . . 1.5. Funciones entre espacios medibles . 5 5 5 6 13 13. . . . .
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2. Medidas 15 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Construcción de la medida de Lebesgue en RN 3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3.2. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Resultados adicionales sobre la medida de Lebesgue (opcional). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Invariancia euclidiana (opcional) . . . . . . . . . . . . . 21 . 21 . 22 . 32 . 35 41 41 41 44 51 51 51 55 59 60 62
4. Integrales 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4.2. Integrales de funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Integrales de funciones medibles no negativas . . . . . . . 5. El teorema de convergencia dominada y sus aplicaciones 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Aplicaciones del Teorema de Convergencia Dominada deLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. La función de Cantor (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 5.6. La función modi…cada de Cantor (opcional) . . . . . . . 3
5.7. Integral de Riemann. Comparación con la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6. Los 6.1. 6.2.6.3. 6.4. espacios de Lebesgue Lp Introducción . . . . . . . . . . . . . Espacios normados. El espacios L1 Los espacios Lp ; 1 p < +1: . . . El espacio L1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 67 67 67 69 74 77 77 78 80 84 88
7. Diferentes tipos de convergencia 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . 7.2. Convergencia en Lp : . . . . . . 7.3. Convergencia en medida . . . . 7.4. Convergencia casi uniforme . . . 7.5. Teorema de Lusin (opcional) . .
8. Teorema de Radon-Nikodym 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Teorema dedescomposición de Hahn . . . . . . . . . . 8.3. Medidas absolutamente continuas. Teorema de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . 9. Generación de medidas. El teorema Caratheódory 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Álgebras y medidas en álgebras . . . 9.3. Extensión de medidas . . . . . . . . . 9.4.Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . 9.5. Funcionales lineales en C . . . . . . . 9.6. Compleción de medidas (opcional) . .
91 . 91 . 91 . 95 . 100
de extensión de 105 . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . 117
10.Medidas producto 121 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 121 10.2. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.3. Teorema de Tonelli y Teorema de Fubini . . . . . . . . . 125
4
Capítulo 1 Espacios medibles y sigma-álgebras
1.1. Introducción
En este capítulo exploraremos algunas cuestiones preliminares sobre espacios medibles. La idea es establecer una generalización del concepto de longitud,...
Jesús Armando Baldenebro Obeso Universidad Autónoma de Querétaro. Agosto 2006
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Índice general
1. Espacios medibles y sigma-álgebras 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sigma-álgebras . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones medibles . . . . . . . . . 1.4. Funciones de valor complejo . . . . 1.5. Funciones entre espacios medibles . 5 5 5 6 13 13. . . . .
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2. Medidas 15 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Construcción de la medida de Lebesgue en RN 3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3.2. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Resultados adicionales sobre la medida de Lebesgue (opcional). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Invariancia euclidiana (opcional) . . . . . . . . . . . . . 21 . 21 . 22 . 32 . 35 41 41 41 44 51 51 51 55 59 60 62
4. Integrales 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4.2. Integrales de funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Integrales de funciones medibles no negativas . . . . . . . 5. El teorema de convergencia dominada y sus aplicaciones 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Aplicaciones del Teorema de Convergencia Dominada deLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. La función de Cantor (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 5.6. La función modi…cada de Cantor (opcional) . . . . . . . 3
5.7. Integral de Riemann. Comparación con la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6. Los 6.1. 6.2.6.3. 6.4. espacios de Lebesgue Lp Introducción . . . . . . . . . . . . . Espacios normados. El espacios L1 Los espacios Lp ; 1 p < +1: . . . El espacio L1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 67 67 67 69 74 77 77 78 80 84 88
7. Diferentes tipos de convergencia 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . 7.2. Convergencia en Lp : . . . . . . 7.3. Convergencia en medida . . . . 7.4. Convergencia casi uniforme . . . 7.5. Teorema de Lusin (opcional) . .
8. Teorema de Radon-Nikodym 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Teorema dedescomposición de Hahn . . . . . . . . . . 8.3. Medidas absolutamente continuas. Teorema de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . 9. Generación de medidas. El teorema Caratheódory 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Álgebras y medidas en álgebras . . . 9.3. Extensión de medidas . . . . . . . . . 9.4.Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . 9.5. Funcionales lineales en C . . . . . . . 9.6. Compleción de medidas (opcional) . .
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de extensión de 105 . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . 117
10.Medidas producto 121 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 121 10.2. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.3. Teorema de Tonelli y Teorema de Fubini . . . . . . . . . 125
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Capítulo 1 Espacios medibles y sigma-álgebras
1.1. Introducción
En este capítulo exploraremos algunas cuestiones preliminares sobre espacios medibles. La idea es establecer una generalización del concepto de longitud,...
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