notas del curso de algebra moderna I

Notas del curso de Algebra Moderna I
Luis Valero Elizondo
21 de Agosto del 2004

´Indice general
1. Grupos.
1.1. Operaciones binarias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Semigrupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Ejemplos de grupos.
2.1. Grupo aditivo de los enteros m´odulo n.2.2. Grupos sim´etricos. . . . . . . . . . . .
2.3. Permutaciones y notaci´on c´ıclica. . . .
2.4. Grupos generales lineales. . . . . . . .
2.5. Grupos di´edricos. . . . . . . . . . . . .
2.6. Productos directos externos. . . . . . .
3. Nociones b´
asicas.
3.1. Algunas propiedades de los grupos. .
3.2. Grupos abelianos. . . . . . . . . . . .
3.3. Orden. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.Conjugaci´on. . . . . . . . . . . . . .
3.5. Conjugaci´on en los grupos sim´etricos.

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4. Homomorfismos.
4.1. Homomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Algunas propiedades de los homomorfismos.
4.3. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Grupos de orden menor o igual a 8. . . . . .

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5. Subgrupos.
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5.1. Subgrupos. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1

5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.

Generadores. . . . . . . . .
Grupos c´ıclicos. . . . . . . .
Centralizadores y el centro.
Productos de subconjuntos.
Clases laterales izquierdas .
Teorema de Lagrange. . . .

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6. Subgrupos normales.
6.1. Subgrupos normales. . . . . . .
6.2. Productos directos internos. . .
6.3. Productossemidirectos internos.
6.4. N´
ucleos e im´agenes. . . . . . . .
6.5. Transposiciones. . . . . . . . . .
6.6. Grupos alternantes. . . . . . . .
6.7. Grupos simples. . . . . . . . . .
6.8. Simplicidad de An para n ≥ 5. .
6.9. Grupos especiales lineales. . . .
6.10. Normalizadores. . . . . . . . . .

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7. Grupos cocientes.
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7.1. Grupos cocientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2. Grupos proyectivos especiales lineales. . . . . . . . . . . . . . 38
7.3. Conmutadores y grupos abelianizados. . . . . . . . . . . . . . 39
8. Teoremas de isomorfismo.
40
8.1. Teoremasde isomorfismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2. Teorema de la correspondencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9. G-conjuntos.
9.1. G-conjuntos. . . . . . . . . .
9.2. Teoremas de representaci´on .
9.3. Orbitas y estabilizadores. . .
9.4. Ecuaci´on de clase. . . . . . .

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10.Teoremas de Sylow.
47
10.1. p-grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.2. Teorema de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.3. Teoremas de Sylow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

10.4. Aplicaciones de los teoremas de Sylow. . . . . . . ....