Notas sobre integrales y ejercicios de fisica

Integrales
Las integrales que se manejan en el curso son relativamente sencillas
f (t)dt = F (t) + C si y solo si

a

En general,

d(F (t) + C )
dF (t)
=
= f (t)
dt
dt

(1)

d
. . . dt y dt se anulan mutuamente:

De una manera intuitiva se puede decir que los s´
ımbolos
si
f (t)dt = F (t) + C

d
entonces la aplicaci´n de dt de ambos lados de la igualdad conduce a
o
ddt

f (t)dt = f (t) =

dF (t)
d(F (t) + C )
=
dt
dt

lo cual es el s´lo si de la expresi´n (1). De manera equivalente, la aplicaci´n de
o
o
o

. . . dt en

ambos lados de la igualdad
d(F (t) + C )
= f (t)
dt
trae consigo
d (F (t) + C )
dt = F (t) + C =
dt

f (t)dt

(2)

que es el si de la expresi´n (1). La expresi´n (2) implica que
o
o
dF (t)
d(F (t) + C )
dt =dt =
dt
dt
en donde se ha utilizado la definici´n de diferencial:
o
dF =

dF = F (t) + c

dF (t)
dt

(3)

d
. . . dt, se anula con dt entonces el s´
ımbolo de integral
se anula con la d de diferencial, aunque no debemos perder de vista la constante de integraci´n
o
as´ que de la misma manera en que
ı

dF = F + c

(4)

Algunos ejemplos de integrales son
(1)dt =

si n =−1, entonces

dt = t + C porque

tn+1
tn dt =
+ C porque
n+1

d(t + C )
=1
dt

tn+1
d n+1 +C
dt

=

(n + 1)

tn+1−1 = tn (5)

(n + 1)

En la ecuaci´n (5) es necesario pedir que n = 1 porque de otra manera (n + 1)/(n + 1) no
o
estar´ definido.
ıa
a

Seguramente en tu curso de C´lculo te obligar´n a hacer integrales m´s complicadas que las que aparecer´n
a
a
a
a

enel de F´
ısica I.

Tambi´n se cumple que la integral es lineal
e
(c1 f1 (t) + c2 f2 (t) + . . . cn fn (t)) dt = c1

f1 (t)dt + c2

f2 (t)dt + . . . cn

fn (t)dt

(6)

Las expresiones (5) y (6), tienen una aplicaci´n directa en el curso. Por ejemplo, si un compoo
nente de la fuerza que act´a sobre una part´
u
ıcula es constante digamos que para el componente
x, y si la masa dela part´
ıcula no cambia, entonces por la segunda ley de Newton se tiene que:
d dx
d2 x
d2 x
dt
m 2 = F −→ 2 =
dt
dt
dt

=

F
m

y por tanto
d dx
dt dt = dx(t) + C =
1
dt
dt

F
F
dx(t)
F
dt = t + C2 −→
= t+C
m
m
dt
m

N´tese que la constante de integraci´n C equivale a la velocidad inicial
o
o
F
dx(0)
= v0 = (0) + C
dt
m
Luego
dx(t)
F
= v0 + t
dt
m
dedonde
dx(t)
dt = x(t) + C3 =
dt

v0 +

F
t dt
m

La aplicaci´n de la linealidad de la integral, expresi´n (6), y de la expresi´n (5) conduce a
o
o
o
x(t) + C3 = v0 t +

F2
F2
t + C4 −→ x(t) = v0 t +
t +C
2m
2m

La constante de integraci´n C de la expresi´n anterior es el valor de x cuando t = 0
o
o
x(0) = x0 = v0 (0) +

F
(0)2 + C
2m

y entonces
x(t) = x0 + v0 t+

a
F2
t = x0 + v0 t + t2
2m
2

que se reconoce como la ecuaci´n de la posici´n en funci´n del tiempo del movimiento uniforo
o
o
memente acelerado. En general si se conoce la fuerza que act´a sobre una part´
u
ıcula de masa
constate m como funci´n del tiempo, F (t), basta con integrar dos veces F (t)/m y fijar las
o
constantes de integraci´n para determinar la posici´n de la part´o
o
ıcula r(t). Ocasionalmente,
en el curso se necesitar´n integrales que impliquen un mayor esfuerzo que la aplicaci´n de las
a
o
expresiones (5) y (6). Un resultado que es de mucha ayuda en la evaluaci´n de estas integrales
o
es la regla de la cadena para integrales: si
f (t)dt = F (t) + C
entonces

dg

por (3)

dg (t)
dt =
dt

f (g (t))

f (g )dg = F (g (t)) + C = (F ◦ g)(t) + C

(7)

Para convencernos de este resultado se tiene que si
f (t)dt = F (t) + C
entonces F = f y de acuerdo con la regla de la cadena para la obtenci´n de derivadas de
o
composiciones

d(f ◦ g )(t)
= (f ◦ g )(t)g (t)
dt

recuerda que (f ◦ g )(t) = f (g (t)) y que f (t) =

df (t)
dt

(8)

se tiene que
f (g (t))

dg (t)
d(F ◦ g )(t)
d ((F ◦ g )(t) + C )
= F (g...