Notas Superficies

SUPERFICIES

TEMA: SUPERFICIES

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SUPERFICIES
* Definición de superficie.

Existen muchas diferentes y válidas maneras para definir a una superficie. Para los fines de este curso, se
presenta la siguiente:

“Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven en el espacio de tres dimensiones con dos
grados de libertad de acuerdo con su ecuación”
F( x , y , z ) = 0

Lo anterior implica queun punto perteneciente a la superficie se puede definir si conocemos el valor de dos
de sus coordenadas, y la tercera deberá encontrarse utilizando la ecuación.

Además, podemos apreciar que una superficie sólo requiere de una ecuación cartesiana para estar
perfectamente definida.

Pero cuidado, no todas las ecuaciones del tipo F( x , y , z ) = 0 representan a una superficie.
x2 + 2y2 + 5z2 = 0Un punto de coordenadas P( 0 , 0 , 0 )

2x2 + 3y2 + 7z2 = - 4

No es un lugar geométrico real

x2 + 4y2 + 2z2 = 16

Es una superficie. (Un elipsoide con centro en el origen)

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* Curvas directriz y generatriz.

Las superficies se pueden trabajar mejor cuando entendemos cómo se construyen. La base de estos
conceptos son las curvas directriz y generatriz.

“Curva directriz es aquellacurva fija
que nos define la dirección en que debe
desplazarse otra curva, para generar
a una superficie”

“Curva generatriz es aquella que se desplaza
tocando siempre a la directriz, cambiando
generalmente de tamaño y posición, y con ello
dando origen a una superficie”

En el cilindro de la derecha, la generatriz es la
circunferencia.
La directriz es la línea recta vertical.
Al desplazarse lascircunferencias sobre la recta,
se genera un cilindro circular recto.

En el cilindro de la izquierda, la generatriz es la
línea recta vertical.
La directriz es la circunferencia.
Al desplazarse las rectas sobre la circunferencia,
se genera un cilindro circular recto.

Como puede verse en las dos ilustraciones anteriores, podemos elegir distintas maneras de generar a la
misma superficie.

Ladiferencia estriba en lo sencillas ó complicadas que puedan llegar a ser las ecuaciones de la directriz y
la generatriz.

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* Clasificación de superficies.
No existe una clasificación universal de superficies, pero podemos mencionar los siguientes tipos de
superficies entre las más usuales:

a) Superficies Alabeadas: Aquellas que no pueden estar contenidas en un plano

b) SuperficiesCilíndricas: Aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y
por generatrices rectas paralelas entre si.

Cilindro circular recto

Cilindro parabólico oblicuo

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Plano

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c) Superficies Cónicas: Aquellas que tienen por directriz a una curva contenida en un plano, y
por generatrices rectas coincidentes en un punto llamado vértice.

Cono hiperbólico

Cono circular rectod) Superficies Regladas: Aquellas que se generan por medio de rectas.

Cilindro circular recto

Cono circular recto

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Hiperboloide circular
de un manto

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e) Superficies de revolución: Aquellas que se generan por el giro de una curva, llamada meridiana
en torno de un eje de giro.

Cilindro circular recto

Paraboloide circular

Hiperboloide circular
de un manto

f) Superficies cuádricasó cuadráticas: Aquellas que tienen por ecuación:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dxz + Ez2 + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0

Esferas

Hiperboloides de
un manto

Elipsoides

Hiperboloides de
dos mantos

Degeneraciones
de las
anteriores
Paraboloides circulares

Paraboloides
hiperbólicos

Paraboloides elípticos

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* Ecuación vectorial de una superficie CILÍNDRICA

Recordemos que una superficiecilíndrica se genera con RECTAS PARALELAS que se desplazan sobre
una curva fija DIRECTRIZ.

u = ( a , b , c ) = vector paralelo a las rectas

p0 = ( x0 , y0 , z0 ) = vector de posición de un
punto sobre la curva

p = ( x , y , z ) = vector de posición de un punto
de la superficie cilíndrica

O = origen de coordenadas

Una recta la definimos con un punto conocido Po y un vector paralelo u

p = po + t u...