Notas Teoriadeconjuntos

Capitulo I.

Mtro. Raúl Urbán Ruiz

Teoría de Conjuntos
Cuando surge la teoría de conjuntos es difícil de establecer. El origen quizá se remonta al
nacimiento del sistema numérico. Debido a que los números, los números en sí son
conjuntos y son la base de cualquier álgebra. Sin embargo, El primer estudio formal sobre el
tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor 1 en el Siglo XIX ymás tarde reformulada
por Ernst Zermelo2.
Cantor, como otros matemáticos se dieron cuenta del hecho de que el modelo de
razonamiento de Euclides era insuficiente y propone la "teoría de conjuntos". Para Cantor
los conceptos de biyección, infinito y el concepto de Universo en Euclides no eran
suficientemente claros. Cantor introduce conceptos originales para tratar el infinito.
Para Cantor, lostérminos de; conjunto, elemento, parte, relación, etc., no están definidos;
solo los utiliza. Esta falta de definición nos lleva a dificultades lógicas que históricamente
han exigido una revisión de la teoría. Cantor fundamentó una axiomática consistente que
permite construir los conjuntos y posteriormente establecer el concepto de infinito. Para
esto definió el concepto de "cardinalidad'' o"potencia'' de un conjunto. Dos conjuntos se
dicen que tienen el mismo número de elementos, que tienen la misma cardinalidad o son
equipotentes, si existe una función definida entre ellos de forma que a cada elemento de
uno sólo le corresponde otro elemento del otro conjunto, y viceversa. Es decir, consideró
que la idea de una biyección sería el principio básico para comparar conjuntos infinitos. Eltérmino de potencia de un conjunto dio paso al término de cardinal.
Definición:
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El concepto de
conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos" o también se entiende por
conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
•
•

Un conjunto es unacolección de objetos que se ven como una globalidad.
Es una colección de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman
elementos del conjunto.

1

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege
de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas
investigaciones sobre los conjuntosinfinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito.
Referencia Wikipedia.
2
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871– 1953) matemático y filósofo alemán. Sus trabajos matemáticos
se desarrollaron sobre todo en el ámbito de la teoría de conjuntos. Su más importante contribución fue la
axiomatización de la teoría de conjuntos (la primera de todas las que se han propuesto a lo largo dela
historia), para la cual propuso siete axiomas: el de extensionalidad, el de conjuntos elementales, el de
separación, el del conjunto-potencia, el de unión, el de elección y el de infinitud.
Referencia: sitio web "Biografías y Vidas", consultado el 07/junio/2012. URL:
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/z/zermelo.htm

8

Capitulo I.

Mtro. Raúl Urbán Ruiz

Algo natural en nuestrassociedades es el buscar agrupar cosas que tienen características
comunes, por ejemplo;
• Una familia, una ciudad, un país.
• El personal de una empresa, Universidad, u organización sindical.
• Empresas con más de 1000 empleados, trabajadores con un salario entre
(a,b).
En forma general utilizamos letras mayúsculas para identificar conjuntos, como por
ejemplo A, B o Colores y minúsculas para representar asus elementos, de esta forma;
Si 𝑎 es un elemento, o miembro del conjunto 𝐴 se denota con la relación de pertenencia
𝑎 ∈ 𝐴. En caso contrario, si 𝑎 no es un elemento de 𝐴 se escribe 𝑎 ∉ 𝐴.
Ejemplos de conjuntos:
o ∅: el conjunto vacío, que carece de elementos.
o N: el conjunto de los números naturales.
o Z: el conjunto de los números enteros.
o Q : el conjunto de los números racionales.
o R:...