notas transformada fourier

Cap´ıtulo 1

TRANSFORMADA CONTINUA DE
FOURIER

§ 1.1.

Introducci´
on

Un caso de representaci´on en frecuencia, puede ser el ecualizador de un equipo de m´
usica. Las
barritas que suben y bajan, indican las diferentes componentes frecuenciales de la se˜
nal sonora
que se est´a escuchando, lo cual, es hecho gracias a un integrado que realiza precisamente la
transformada de Fourier de la formam´as r´apida posible.
La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas ´areas de la ciencia e
ingenier´ıa: la f´ısica, la teor´ıa de los n´
umeros, la combinatoria, el procesamiento de se˜
nales, la
teor´ıa de la probabilidad, la estad´ıstica, la ´optica, la propagaci´on de ondas y otras ´areas. En
procesamiento de se˜
nales la transformada de Fourier suele considerarse comola descomposici´on
de una se˜
nal en componentes de diferentes frecuencias, lo cual se hace para obtener informaci´on que no es evidente en el dominio del tiempo. La rama de la matem´atica que estudia la
transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada an´alisis arm´onico.
Dada una se˜
nal y = f (t) peri´odica de periodo fundamental T , si se hace que T → ∞, la se˜
nal
resultante no esperi´odica, es decir,si:
l´ım f (t) = g(t)

T →∞

(1.1)

g no resulta peri´odica, en raz´on a que en muchos problemas pr´acticos aparecen se˜
nales que no
son peri´odicas, conviene hacer uso del an´alisis de Fourier para el tratamiento de ´este tipo de
se˜
nales, lo que justamente conlleva a la representaci´on frecuencial de se˜
nales no peri´odicas por
medio del an´alisis de Fourier y que tieneque ver con la transformada de Fourier de la que se
ocupa el presente cap´ıtulo.
1

CAP´ITULO 1.

2

TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER

Para obtener la transformada de Fourier el prop´osito, es utilizar la serie exponencial compleja
correspondiente a una se˜
nal peri´odica de periodo T , y hacer que T → ∞, lo cual se muestra en
la siguiente secci´on.

§ 1.2.

Concepualizaci´
on Matem´
atica dela Transformada Continua
de Fourier

Se supone que y = f (t), es una se˜
nal absolutamente integrable es decir,
∞

|f (t)|dt < ∞

−∞

(1.2)

y que f tiene un n´
umero finito de m´aximos y m´ınimos y de discontinuidades sobre cualquier
intervalo de longitud finita, estas condiciones incluyen todas las se˜
nales u
´tiles de energia finita,
es decir, se˜
nales f (t) , para las cuales
∞
−∞

f 2 (t)dt< ∞

(1.3)

sin embargo, existen varias se˜
nales importantes como la se˜
nal escal´on unitario que no son
absolutamente integrables. Las se˜
nales f (t) se pueden clasificar como:
a. Se˜
nales de energ´ıa, es decir, f (t), tiene energ´ıa finita, esto es,
∞
−∞

f 2 (t)dt < ∞

b. Se˜
nales de potencia, es decir, se˜
nales f (t)
potencia finita, lo que significa que

que tienen una energ´ıainfinita pero una

∞

f 2 (t)dt
−∞

no existe, pero:
1
T →∞ T

T /2

l´ım

La serie de Fourier para f

−T /2

f 2 (t)dt < ∞

(1.4)

en el intervalo [−L, L], est´a dada por:
∞

nπt
a0
nπt
+
+ bn sen
an cos
2
L
L
n=1
FAC. DE INGENIER´IA.

-

´ DE CALDAS
UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE

(1.5)

´ MATEMATICA
´
1.2. CONCEPUALIZACION
DE LA TRANSFORMADA CONTINUA DE FOURIER

siendo:

1
L

an =
bn =

1
L

L

3

f(ξ)cos

nπ
ξdξ
L

(1.6)

f (ξ)sen

nπ
ξdξ
L

(1.7)

−L
L
−L

Incluyendo los valores de an y bn dentro de la serie trigonom´etrica se llega a:
1
[
2L

∞

L

f (ξ)dξ] +
−L

[
n=1

L

1
L

f (ξ)cos
−L

Haciendo el cambio de variable ωn =
ecuaci´on anterior se reescribe como:
[

1
2π

∞

L

f (ξ)dξ]∆ω +
−L

[
n=1

L

nπt
1
nπ
ξdξ]cos
+[
L
L
L

nπ
,
L

f (ξ)sen
−L

se obtiene ωn − ωn−1 =

L

1
π

f(ξ)cosωn ξdξ]cosωn t + [
−L

1
π

π
L

nπt
nπ
ξdξ]sen
L
L
1
L

= ∆ω, as´ı,

=

(1.8)
∆ω
,
π

la

L

f (ξ)senωn ξdξ]senωn t ∆ω
−L

(1.9)
Haciendo que L → ∞, se obtiene que ∆ω → 0, por lo tanto,
[

1
2π

L
−L

f (ξ)dξ]∆ω → 0 cuando L → ∞

(1.10)

Luego,
∞

1
L→∞ π
1
=
π
=

−L

−L
∞

n=1
∞

f (ξ)senωn ξdξ]senωn t ∆ω

f (ξ)cosωn ξdξ]cosωn t + [

[
[

0
∞

L

L

l´ım

∞

f (ξ)cosωξdξ]cosωt + [
−∞

f...