Notas

ANu00c1LISIS MATEMÁTICO I
Edición: Febrero de 2013

Universidad de la República, UdelaR
de

INSTITUTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA “PROF. ING.
RAFAEL LAGUARDIA”
OFICINA DE PUBLICACIONES
CENTRO DE ESTUDIANTES DE INGENIERÍA

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Índice general
1. Número complejo
1.1. Número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Axiomas de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Número complejo: definición y operaciones . . .
1.5. Relación entre los números reales y los complejos
1.6. Unidad imaginaria y representación binómica . .
1.6.1. Representación gráfica . . . . . . . . . .
1.6.2. Propiedades del módulo . . . . . . . . .
1.7. Exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Fórmulas de Euler . . . .. . . . . . . .
1.7.2. Aplicaciones geométricas . . . . . . . .
1.7.3. Potencias enteras y raíces . . . . . . . . .
1.8. Logaritmo complejo . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Seno y coseno complejo . . . . . . . . . . . . .
Bibliografía

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4Índice general

Reconocimientos
Estas notas, que en este semestre van a ser publicadas por capítulos, son una reedición de las Notas de Análisis I elaboradas en el Instituto de Matemática y Estadística
“Prof. Ing. Rafael Laguardia”(IMERL) de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de la República. Dichas notas fueron elaboradas por Fernando Paganini, con la
colaboración de MarceloCerminara, Enrique Cabaña y el equipo docente del curso de
Análisis I durante 1991-1992. Gabriel Lema y Pablo Romero han corregido y modernizado la edición original. Se ha procurado mantener la intención de estas notas, que
si bien son autocontenidas no pretenden de ningún modo eliminar la consulta de otra
literatura bien autorizada, sugerida en las referencias bibliográficas del presente texto.Estos capítulos serán impresos por la Oficina de Publicaciones del CEI, al igual que
lo fueron las notas originales. El material que se presenta es la base del contenido del
curso de Cálculo I del primer semestre de 2013, junto con los prácticos de ejercicios
del curso. Es nuestro deseo que este material sea de vuestra utilidad. Confiamos que
sea bien enriquecido mediante las referenciasbibliográficas, que permiten ampliar los
temas aquí presentados.
Es un placer darles una cálida bienvenida a este curso. Se sugiere mantenter un
espíritu crítico en la lectura y el estudio. En especial recordarles que tanto el presente
material como otros que consultarán pueden contener errores, y en caso de hallarlos
nos será muy grato recibir vuestra realimentación, que nos ayuda a trabajar cadavez
más y mejor.
Montevideo, marzo de 2013
Instituto de Matemática y Estadística “Prof. Ing. Rafael Laguardia”
Facultad de Ingeniería
Universidad de la República.

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Índice general

Capítulo 1
Número complejo
1.1.

Número real

Haremos una construcción axiomática del conjnunto de los números reales demostrando algunas de sus propiedades más relevantes. Sea R un conjunto notrivial y
sea + : R × R → R una operación binaria, que llamaremos suma, y × : R × R → R
otra operación que llamaremos producto. (Notación: +(x, y) = x + y, ×(x, y) = xy).

1.2.

Axiomas de cuerpo

Axioma 1 Propiedad Conmutativa
x + y = y + x; xy = yx, ∀ x, y ∈ R.
Axioma 2 Propiedad Asociativa
x + (y + z) = (x + y) + z; x(yz) = (xy)z, ∀ x, y, z ∈ R.
Axioma 3 Propiedad Distributiva
x(y...