NotasFundaUIS

Notas para el curso de Fundamentos de la Matem´atica
Carlos Uzc´ategui Aylwin
Escuela de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad Industrial de Santander
Versi´on: Marzo 2015

ii

´Indice general
1. L´
ogica simb´
olica
1.1. Proposiciones y tablas de verdad
1.1.1. Conectivos l´ogicos . . . . .
1.1.2. Tablas de verdad . . . . .
1.1.3. Otras expresiones formales
1.2. C´alculo proposicional .. . . . . .
1.2.1. Implicaci´on l´ogica . . . . .
1.2.2. Razonamientos v´alidos . .
1.2.3. Falacias . . . . . . . . . .
1.2.4. Equivalencia l´ogica . . . .

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2. Conjuntos
2.1. Nocionesb´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Definiciones por comprensi´on y por extensi´on
2.1.2. Igualdad de conjuntos . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. El conjunto vac´ıo . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6. Las operaciones elementales . . . . . . . . . .
2.1.7. Diagramas de Venn. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. La l´ogica y las operaciones sobre conjuntos . . . . . .
2.2.1. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Propiedades de las operaciones entre conjuntos . . . .
2.3.1. Algunas propiedades de la relaci´on ⊆ . . . . .
2.3.2. Uni´on e intersecci´on . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Complementaci´on . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Diferenciasim´etrica . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. L´ogica y ´algebra booleana (continuaci´on) . . . . . . .
2.4.1. Silogismos categ´oricos . . . . . . . . . . . . .
2.5. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Afirmaciones condicionales . . . . . . . . . . .
2.5.2. Afirmaciones universales . . . . . . . . . . . .
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2.5.3. Demostraciones por reducci´on al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4. Demostraciones de igualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. El principio de inducci´
on matem´
atica
3.1. El principio de buenaordenaci´on . . . . . . . . . . . .
3.1.1. M´aximo de un conjunto . . . . . . . . . . . . .
3.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Sucesiones equivalentes . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Sucesiones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Sumatorias y productorias . . . . . . . . . . . .
3.3. El principio de inducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Algunas aplicaciones del principio de inducci´on
3.3.2. Variantes del principio de inducci´on . . . . . . .
3.4. Definiciones por recursi´on . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. ¿Por qu´e se llama inducci´on matem´atica? . . . . . . . .
4. Relaciones
4.1. El producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Algunas propiedades del producto cartesiano
4.2. Relaciones . . . . . ....