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Páginas: 5 (1007 palabras)
Publicado: 1 de octubre de 2010
Calculo diferencial e Integral para principiantes
Humberto Martínez Brito
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (WILLIAM ANTONY GRANVILLE)
PROBLEMAS (funciones)
1. Dado f(x)=x3-5x2-4x+20, demostrar que
f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2 f(3), f(7)=5 f(-1).
2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2)
3. Si F (θ)=sen2θ+cosθ, hallar F (0), F(1/2π), F (π).
4. Dado f(x)= x3-5x2-4x+20, demostrar que
f (t+1)=t3-2t2-11t+12
5. Dado f(y)=y2-2y+6, demostrar que
f (y+h)=y2-2y+6+2(y-1)h+h2
6. Dado f(x)=x3+3x, demostrar que
f(x+h)-f(x) =3(x2+1) h+3xh2+h3.
7. Dado [pic] , demostrar que [pic] .
8. Dado [pic], demostrar que [pic].
9. Si [pic], demostrar que [pic].
10. Dado[pic] , demostrar que [pic].
11. Dado f(x)=sen x, demostrar que
f(x+2h)-f(x) =2cos(x+h) senh.
PROBLEMAS (Límites)
DEMOSTRAR CADA UNA DE LAS SIGUIENTES IGUALDADES:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic][pic].
5. [pic]
6.
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11.
12.
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14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
PROBLEMAS (DERIVACIÓN POR LÍMITES)REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x+Δ, y se calcula el nuevo valor de la función y+Δy.
SEGUNDO PASO. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy(incremento de la función).
TERCER PASO.
CUARTO PASO.
EJEMPLO 1. Hallar la derivada de función 3x2+5.
Resolución. Aplicando los pasos sucesivos de la regla general,obtenemos, obtenemos después de hacer.
y=3x2+5,
Primer paso. y +Δy=3(x+Δx)2+5
=3x2+6x•Δx+3(Δx)2+5.
Segundo Paso. y+ Δy=3x2+6x•Δx+3(Δx)2+5.
y =3x2 +5.Δy= 6x•Δx+3(Δx)2
Tercer Paso [pic]
Cuarto Paso. En el segundo miembro hagamos Δx→0. Según (A) resulta:
[pic]
[pic]
O bien,
[pic]
EJEMPLO 2.
EJEMPLO 3.
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1.
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25.
26.
27.
29.
PROBLEMAS
Aplicando las derivadas hallar las pendientes y la inclinación de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa indica. Verificar el resultado trazando la curva y la tangente.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
PROBLEMAS (DERIVADAS CON TABLAS DE DERIVACIÓN)Hallar la derivada de las siguientes funciones.
1.
2.
3.
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35.
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37.
38.
39.
40.
41.
Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones
42.43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor dy/dx para el valor dado de x.
52.
53.
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PROBLEMAS
Hallar dy/dx para cada una de las funciones siguientes:
1.
2.
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PROBLEMAS ADICIONALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
APLICACIONES DE LA DERIVADA (VALORES MÁXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCIÓN)
1. Supongamos, por ejemplo, que se desea hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de 5 cm de radio....
Humberto Martínez Brito
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (WILLIAM ANTONY GRANVILLE)
PROBLEMAS (funciones)
1. Dado f(x)=x3-5x2-4x+20, demostrar que
f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2 f(3), f(7)=5 f(-1).
2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2)
3. Si F (θ)=sen2θ+cosθ, hallar F (0), F(1/2π), F (π).
4. Dado f(x)= x3-5x2-4x+20, demostrar que
f (t+1)=t3-2t2-11t+12
5. Dado f(y)=y2-2y+6, demostrar que
f (y+h)=y2-2y+6+2(y-1)h+h2
6. Dado f(x)=x3+3x, demostrar que
f(x+h)-f(x) =3(x2+1) h+3xh2+h3.
7. Dado [pic] , demostrar que [pic] .
8. Dado [pic], demostrar que [pic].
9. Si [pic], demostrar que [pic].
10. Dado[pic] , demostrar que [pic].
11. Dado f(x)=sen x, demostrar que
f(x+2h)-f(x) =2cos(x+h) senh.
PROBLEMAS (Límites)
DEMOSTRAR CADA UNA DE LAS SIGUIENTES IGUALDADES:
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic][pic].
5. [pic]
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PROBLEMAS (DERIVACIÓN POR LÍMITES)REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
PRIMER PASO. Se sustituye en la función x por x+Δ, y se calcula el nuevo valor de la función y+Δy.
SEGUNDO PASO. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene Δy(incremento de la función).
TERCER PASO.
CUARTO PASO.
EJEMPLO 1. Hallar la derivada de función 3x2+5.
Resolución. Aplicando los pasos sucesivos de la regla general,obtenemos, obtenemos después de hacer.
y=3x2+5,
Primer paso. y +Δy=3(x+Δx)2+5
=3x2+6x•Δx+3(Δx)2+5.
Segundo Paso. y+ Δy=3x2+6x•Δx+3(Δx)2+5.
y =3x2 +5.Δy= 6x•Δx+3(Δx)2
Tercer Paso [pic]
Cuarto Paso. En el segundo miembro hagamos Δx→0. Según (A) resulta:
[pic]
[pic]
O bien,
[pic]
EJEMPLO 2.
EJEMPLO 3.
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1.
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29.
PROBLEMAS
Aplicando las derivadas hallar las pendientes y la inclinación de la tangente a cada una de las curvas siguientes en el punto cuya abscisa indica. Verificar el resultado trazando la curva y la tangente.
1.
2.
3.
4.
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9.
PROBLEMAS (DERIVADAS CON TABLAS DE DERIVACIÓN)Hallar la derivada de las siguientes funciones.
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Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones
42.43.
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48.
49.
50.
51.
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor dy/dx para el valor dado de x.
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PROBLEMAS
Hallar dy/dx para cada una de las funciones siguientes:
1.
2.
3.
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7.
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PROBLEMAS ADICIONALES
1.
2.
3.
4.
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6.
APLICACIONES DE LA DERIVADA (VALORES MÁXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCIÓN)
1. Supongamos, por ejemplo, que se desea hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de 5 cm de radio....
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