Novela Romatica Boliviana

Simetría respecto al origen. Función impar
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:
f(−x) = −f(x)
Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Ejemplo:
es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
|
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.Ejemplo:
es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
|
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

Las asíntotas diagonales son también posibles; por ejemplo, la gráfica de y = (1/x) + x tiene la recta y = x como una asíntota. (El eje de las y también es una asíntota.)

Función estrictamentecrecienteFunción crecienteFunción estrictamente decreciente
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Función decrecienteCrecimiento
Si f es derivable en a:
Decrecimiento
Si f es derivable en a:

CÁLCULO DE INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
EJEMPLO 1
En la escena están representadas la función
f(x)=x3-3x+1 y su derivada f'(x)=3x2-3
Cambia el valor de x y comprueba, a la vista delsigno de la derivada si la función es creciente o decreciente en x=-1,5   x=0   x=2 |
Para calcular en qué intervalos la función es creciente o decreciente procederemos:
* Resolvemos la ecuación: f'(x)=0  
* Soluciones: x=1, x=-1
* Calculamos el signo de la derivada antes y después de estos valores
x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-,-1)
-1<x<1, f'(x)<0, f decreciente en(-1,1)
x>1, f'(x) > 0, f creciente en (1,+)
EJEMPLO 2
La escena muestra la derivada y=f'(x) de la función y=x+1/x
Observa, en la escena, el signo de la derivada. ¿En qué puntos corta la función derivada al eje OX?. ¿Qué ocurre en x=0? |
* Calcula f´ y resuelve la ecuación f'(x)=0
* Comprueba que las soluciones son:  x=1, x=-1
Cambia el valor de x y se dibujará y=f(x). Asípodrás observar su comportamiento. |
x<-1, f'(x)>0, f creciente en (-,-1)
-1<x<0, f'(x)<0, f decreciente en (-1,0)
0<x<1, f'(x)<0, f decreciente en (0,1)
x>1, f'(x)>0, f creciente en (1,+)
recimiento en un punto
Si f es derivable en a:
f es estrictamente creciente en a si:
f'(a) > 0
Decrecimiento en un punto
Si f es derivable en a:
f es estrictamentedecreciente en a si:
f'(a) < 0
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)
4. Tomamos unvalor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

Si f y f' son derivables en a, a es:
Cóncava
Si f''(a) > 0
Convexa
Si f''(a) < 0
Intervalos deconcavidad y convexidad
Para determinar los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:
1. Se calcula la derivada segunda y se hallan sus raíces.
2. Se forman intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Se toma un valor de cada intervalo, y se halla el signo que tiene en la derivadasegunda.
Si f''(x) > 0 es cóncava.
Si f''(x) < 0 es convexa.
4. Escribimos los intervalos.

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de la función:

Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de las funciones:
1.

Cóncava:

Convexa

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Minimos y maximos

Máximos y Mínimos Relativos....