novela

Cuestiones Te´ricas Tema 5
o

Distribuciones de Variables
Aleatorias Continuas
Cuesti´n Te´rica 1. Sea X una variable aleatoria continua con distribuci´n uniforme en el
o
o
o
intervalo (−5,5).
1. ¿Cu´l es la funci´n de densidad de X?
a
o
2. ¿Cu´l es la funci´n de distribuci´n de X?
a
o
o
3. ¿Cu´l es la esperanza de X?
a
4. ¿Cu´l es la esperanza de X 5 ?
a
5. ¿Y la esperanzade X 4 ?
6. ¿Cu´l es la esperanza de eX ?
a
Cuesti´n Te´rica 2. La funci´n de densidad de una variable aleatoria X es
o
o
o

1 −x
 e 2 x>0
2
f (x) =

 0
x≤0
1. ¿Cu´l es la funci´nde distribuci´n de X?
a
o
o
2. ¿Cu´l es la probabilidad de que X est´ entre 1 y 2?
a
e
3. ¿Cu´l es la esperanza de X?
a
1

´
2CUESTIONES TEORICAS TEMA 5. DISTRIBUCIONES DE VARIABLESALEATORIAS CONTINUAS
4. ¿Cu´l es la varianza de X?
a
Cuesti´n Te´rica 3. Demostrar que si X ∼ U (a, b), entonces se verifica que:
o
o
1. La funci´n de distribuci´n viene dada por:
o
o


 0



F (x) = x−a
 b−a




 1
2. E[X] =

si a < x ≤ b
si x > b

a+b
2

3. V [X] =

si x ≤ a

(b−a)2
12

Cuesti´n Te´rica 4. Sea X ∼ Exp(λ). Demostrar las siguientespropiedades:
o
o
1. La funci´n de distribuci´n es:
o
o



F (x) =

2. ϕ(t) =

λ
λ−t ,

3. E[X] =


1 − e−λx

x≤0
x>0

con t < λ.

1
λ

4. V [X] =

0

1
λ2Cuesti´n Te´rica 5. Sean X1 , X2 iid tal que X1 , X2 ∼ Exp(λ). Demostrar que
o
o
min{X1 , X2 } ∼ Exp (2λ)
Cuesti´n Te´rica 6. Sea X ∼ Exp(λ). Para cualquier constante c > 0, demostrar que
o
o

X
c∼

Exp(cλ).
Cuesti´n Te´rica 7. Si X ∼ Exp(λ) entonces:
o
o
P [X > r + s|X > r] = P [X > s] ∀r, s ∈ R, r, s > 0
Cuesti´n Te´rica 8. Sea X ∼ Ga(p, a). Demostrar las propiedades siguientes:
oo
1. ϕ(t) =

a
a−t

p

,t 0, β > 0. Su funci´n de densidad viene dada por:
o

β

f (x) =

α


0

x β
x β−1 −( α )
e
α

x≥0
x 1 indica que la tasa de fallos crece con...