Nsalleo Del Grito Silencioso
Páginas: 2 (473 palabras)
Publicado: 30 de octubre de 2012
PRIMER MÉTODO
0) Sea la ecuación de tercer grado en su forma canónica, y en la que todos sus coeficientes son números reales.
1) Si la multiplicamos por el inverso del coeficiente de x³, o sila dividimos por el coeficiente de x³, se obtiene una ecuación equivalente. Hacemos esto para que el coeficiente del término en x³ sea igual a 1, que simplificará las fórmulas. La ecuación nos quedaráasí:
x³ + ax² + bx + c = 0
2) Hacemos un cambio de variable,
x = y – ⅓ a
y desarrollamos
(y – ⅓ a)³ + a (y – ⅓ a)² + b (y – ⅓ a) + c = 0
3) Desarrollamos hasta que poco a pocoobtengamos una expresión con la siguiente forma,
y³ + 3py – 2q = 0
Esta ecuación tiene tres raíces. Se la llama “ecuación reducida de tercer grado”.
4) Hacer los siguientes cálculos previos,
∆= p³ + q²
. . . . . . . . . .__
φ = arctg ( √ |∆| / q )
5) Si ∆ < 0 , la fórmula que permite hallar una de las tres raíces reales, o la raíz real, de la ecuación reducida, es la siguiente
.. . . . .__
y₁ = 2 √ |p| cos (φ / 3)
En el caso de que q < 0, φ debe ser expresado como ángulo de π/2 a π del segundo cuadrante. Si por calculadora hemos obtenido un valor negativo de 0 a –π/2, simplemente tendremos que sumar un ángulo plano positivo, obteniendo el argumento adecuado aplicar correctamente la fórmula.
6) Si Δ ≥ 0,
. . . . . . .__. . .__ . . . . __ . . .__
y₁ = ( ³√ q +√ Δ ) + ( ³√ q – √ Δ )
7) Podemos ya calcular x₁,
x₁ = y₁ – ⅓ a
que siempre será real, por serlo y₁.
8) Dividimos la ecuación inicial por (x – x₁), por Ruffini. Las raíces del cocienteresultante (una ecuación de 2.º grado), son las otras dos raíces que faltaban por hallar.
EJEMPLO:
Resuelve con fórmulas x³ – 4x² + x + 6 = 0 ; (Soluciones: 3, 2, –1).
Solución:
x = y – ⅓a = y + 1,333...
(y + 1,333...)³ – 4 (y + 1,333...)² + 1 (y + 1,333...) + 6 = 0
(y³ + 4y² + 5,33... y +2,370370...) – 4 (y² + 2,66... y + 1,77...)+ (y + 1,33...) + 6 = 0
y³ – 4,333... y +...
0) Sea la ecuación de tercer grado en su forma canónica, y en la que todos sus coeficientes son números reales.
1) Si la multiplicamos por el inverso del coeficiente de x³, o sila dividimos por el coeficiente de x³, se obtiene una ecuación equivalente. Hacemos esto para que el coeficiente del término en x³ sea igual a 1, que simplificará las fórmulas. La ecuación nos quedaráasí:
x³ + ax² + bx + c = 0
2) Hacemos un cambio de variable,
x = y – ⅓ a
y desarrollamos
(y – ⅓ a)³ + a (y – ⅓ a)² + b (y – ⅓ a) + c = 0
3) Desarrollamos hasta que poco a pocoobtengamos una expresión con la siguiente forma,
y³ + 3py – 2q = 0
Esta ecuación tiene tres raíces. Se la llama “ecuación reducida de tercer grado”.
4) Hacer los siguientes cálculos previos,
∆= p³ + q²
. . . . . . . . . .__
φ = arctg ( √ |∆| / q )
5) Si ∆ < 0 , la fórmula que permite hallar una de las tres raíces reales, o la raíz real, de la ecuación reducida, es la siguiente
.. . . . .__
y₁ = 2 √ |p| cos (φ / 3)
En el caso de que q < 0, φ debe ser expresado como ángulo de π/2 a π del segundo cuadrante. Si por calculadora hemos obtenido un valor negativo de 0 a –π/2, simplemente tendremos que sumar un ángulo plano positivo, obteniendo el argumento adecuado aplicar correctamente la fórmula.
6) Si Δ ≥ 0,
. . . . . . .__. . .__ . . . . __ . . .__
y₁ = ( ³√ q +√ Δ ) + ( ³√ q – √ Δ )
7) Podemos ya calcular x₁,
x₁ = y₁ – ⅓ a
que siempre será real, por serlo y₁.
8) Dividimos la ecuación inicial por (x – x₁), por Ruffini. Las raíces del cocienteresultante (una ecuación de 2.º grado), son las otras dos raíces que faltaban por hallar.
EJEMPLO:
Resuelve con fórmulas x³ – 4x² + x + 6 = 0 ; (Soluciones: 3, 2, –1).
Solución:
x = y – ⅓a = y + 1,333...
(y + 1,333...)³ – 4 (y + 1,333...)² + 1 (y + 1,333...) + 6 = 0
(y³ + 4y² + 5,33... y +2,370370...) – 4 (y² + 2,66... y + 1,77...)+ (y + 1,33...) + 6 = 0
y³ – 4,333... y +...
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