NUEVASGEOMETRIAS 2011

NUEVAS GEOMETRÍAS
Belén Martínez Pérez. Profesora de Enseñanza Secundaria. I.E.S. Río Gállego.
1.- Buscando la geometría.

Entonces el principito señaló con gravedad:
-¡No importa, es tan pequeña mi casa!
Y agregó, quizás, con un poco de melancolía:
-Derecho, camino adelante… no se puede ir muy lejos
De esta manera supe una segunda cosa muy importante: su planeta de origen era apenas másgrande que una casa
Esto no podía asombrarme mucho. Sabía muy bien que aparte de los grandes planetas como la Tierra, Júpiter, Marte, Venus, a los cuales se les ha dado nombre, existen otros centenares de ellos tan pequeños a veces, que es difícil distinguirlos aun con la ayuda del telescopio. (el principito, Antoine De Saint Exupéry)

Viendo la serie Futurama, que como es sabido emplea muchos guiñosmatemáticos, encontramos esta singular imagen. ¿A qué se refiere?. Si se trata de la misma gasolinera, ¿es posible?.
La instantánea está tomada en Mercurio, planeta con un radio de2440km, es decir, unas 1512 millas.
Haciendo un pequeño cálculo, millas de ecuador. Es decir, la gasolinera más cercana está situada exactamente en el punto diametralmente opuesto a la señal.




Supongamos ahora quenuestro planeta fuera mucho más pequeño, casi tanto como el planeta del Principito, unos 3 ó 4 metros de radio. ¿Seríamos capaces de construir un rectángulo del tamaño de una cancha de baloncesto?. Podemos empezar situándonos en el ecuador y allí trazar una línea todo lo “recta” que podamos, (muy recta no saldrá porque observamos que enseguida empezaría a curvarse). Ahora, para la construcciónde las bandas, necesitamos dos líneas perpendiculares al ecuador…


Ya nos lo estábamos imaginando… ¡las rectas se cortan!. Ambas son perpendiculares al ecuador y sin embargo no paralelas. ¿Será que no estamos trazando bien las rectas? ¿Será que no hemos medido los ángulos de forma adecuada? Necesitamos una geometría específica para este pequeño mundo.




1.1.- Mensaje a Tierra.
Sabemos que enla Tierra han existido grandes geómetras de la talla de Euclides quien dedicó gran parte de su vida a la elaboración de una geometría consistente. ¿Podrá Euclides resolver nuestro problema?. Nuestras cuestiones son enviadas y rápidamente recibimos vía satélite las respuestas:
“No negamos la consistencia de la geometría de Euclides pero es necesario tener en cuenta que los resultados de esta sebasan en 5 axiomas que durante muchos años se supusieron ciertos. Los avances en diversas ramas de las Matemáticas y de la Astrofísica han creado la necesidad de nuevas geometrías elaboradas por grandes mentes como la de Riemann, Lobachevsky y Bolyai. Proponemos que sean ustedes mismos los que analicen que geometría deben aplicar en su pequeño planeta. Para ello enviamos una serie de directrices:
Lageometrías que proponemos son:

Geometría euclídea: los ángulos interiores de un triángulo suman exactamente 180º
Geometría hiperbólica: los ángulos interiores de un triángulo suman menos de 180º
Geometría elíptica: los ángulos interiores de un triángulo suman más de 180º

Para llegar a concluir cual de ellas se ajusta a sus necesidades deberán demostrar utilizando las herramientas y saberesmatemáticos que poseen una de estas tres condiciones. Hace falta que sea cierta para todos los triángulos.

Será necesario que tengan claro el concepto “recta”, en cualquier geometría la recta es el camino más corto que une dos puntos. Con estos datos, confiamos obtengan una demostración fiable.”



2.- Nos ponemos en marcha.
2.1.- Geodésicas.
Lo primero que tenemos que analizar es si lo que hemosconsiderado una recta realmente lo es, es decir si los ecuadores son los caminos más cortos entre dos puntos.
Necesariamente este ecuador es el camino más corto entre P y Q puesto que es la línea menos curvada que se puede trazar en la esfera.

Una circunferencia máxima queda determinada por dos puntos que no sean diametralmente opuestos P, Q junto con el punto O, centro de la esfera, sin más que...