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Indice
1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Determinaci´on de los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Definiciones
Definici´on
Sea A una matriz cuadrada, un n´umero real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor
caracter´ıstico de A si existeun vector, diferente del vector cero, x tal que:
Ax = λx
Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicaci´on por A el vector resultante mantiene
su direcci´on, posiblemente s´olo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o
eigenvector asociado al valor propio λ.
Ejemplo
Para la matriz A indique cu´ales vectores son vectores propios.
A =
1 2
2 1

v1 =

1
1

, v2 =

2
3

, v3 =

−1
1

, v4 =

0
2

Soluci´on
Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un m´ultiplo escalar del vector.
Av1 =

1 2
2 1
 
1
1

=

3
3

= 3

1
1

v1
s´ı es vector propio de A asociado al valor propio 3.
Av2 =

1 2
2 1
 
2
3

=

8
7

6 = k
2
3

v2
no es vector propio de A.
Av3 =

1 2
2 1
 
−1
1

=

1
−1

= −1

−1
1

v3
s´ı es vector propio de A asociado al valor propio -1.
Av4 =

1 2
2 1
 
0
2

=

4
2

6 = k

0
2

v4
no es vector propio de A.
Ejercicio 1
Cu´ales son vectores propios a la matriz
A =




−
33
2
51
2
27
2
−
83
4
121
4
57
4
57
4−
75
4
−
27
4






−3
−3
2


,


−1
2
−5


,


4
2
2


,


6
8
−6


,


1
−1
4


,


0
1
−1


Ejemplo
El vector
v =


2
4
−4


es un vector propio de la matriz
A =


5 0 3
16
5
1
18
5
−2 0 −2


Determine el valor propio al cual est´a asociado.
Soluci´on
Determinemos Av:


5 0 316
5
1
18
5
−2 0 −2




2
4
−4


=


−2
−4
4


= −1


2
4
−4


Por tanto, v est´a asociado al valor propio λ = −1 de la matriz A.
Ejercicio 2
Los vectores


−3
−2
1


,


1
2
−2


,


0
6
0


,


9
6
−3


s´ı son vectores propios de la matriz
A =


5 0 3
16
5
1
18
5
−2 0 −2


.Determine los valores propios a los cuales est´an asociados.
2
2. Determinaci´on de los valores propios
Sea λ
o
un valor propio de la matriz cuadrada A, as´ı existe un vector diferente cero de xo
tal que:
Axo = λ
oxo = λ
o
I
n xo
Por tanto:
Axo − λ
o
I
nxo
= (A − λ
o
I
n
) xo = 0
Si B = A − λ
o
I
n
lo anterior significa que el sistema homog´eneo n × n
Bx = 0
tiene adem´as dela soluci´on trivial otra soluci´on (x = xo
6 = 0). Por consiguiente, no tiene soluci´on ´unica. Y
por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero:
det(B) = det (A − λ
o
I
n
) = 0.
Resumiendo:
Todo valor propio λ
o
debe ser ra´ız del polinomio caracter´ıstico asociado a A:
p
A
(λ) = det (A − λI
n
) (1)
y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser soluci´on alsistema homog´eneo:
(A − λI
n
) x = 0 (2)
Ejemplo
Determine los valores y los vectores propios correspondientes de las matrices:
A1 =

1 2
2 1

, A2 =

1 1
0 1

, A3 =

1 2
−1 2

Soluci´on
Para A1
:
p
A
(λ) = det (A − λI
2
) = det

1 2
2 1

− λ

1 0
0 1

p
A1
(λ) = det

1 2
2 1

−

λ 0
0 λ

= det

1 − λ 2
2 1 − λ

p
A1
(λ)=
1 − λ 2
2 1 − λ
= (1 − λ)
2
− 4
p
A1
(λ) = λ
2
− 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1)
Por tanto, los ´unicos valores propios de A1
son λ
1
= 3 y λ
2 = −1.
Vector propio para λ
1
= 3
Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:
(A1 − λI
2
) x = 0
Es decir:

1 2
2 1

− (3)

1 0
0 1

x = 0
3
Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:

1 − 3 2
2 1 − 3

x...