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APUNTES DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA ING. GUILLERMO CASAR MARCOS TEMA IV. “MODELOS PROBABILISTICOS COMUNES”.
DISTRIBUCION DE BERNOULLI
SI EN UN EXPERIMENTO SOLO APARECEN DOS POSIBLES RESULTADOS: “ÉXITO” O “FRACASO” , A DICHO EXPERIMENTO SE LE LLAMA DE BERNOULLI. EJEMPLO: SE LANZA UNA MONEDA, LOS POSIBLES RESULTADOS SON: “CAE AGUILA” = ÉXITO “CAE SOL” = FRACASO. ASOCIANDO AL RESULTADO DELEXPERIMENTO, UNA VARIABLE ALEATORIA (V.A.) x, ESTA VARIABLE TOMARA LOS VALORES DE 1 Y 0, ESTO ES, EL ESPECTRO DE x ES: {1, 0} DE ESTA MANERA PROBABILIDAD: P P (x) = 1–P ESTO ES P (x = 1) = P , ; x=0 (FRACASO) P ( x = 0) = 1 – P = q SE PUEDE DEFINIR UNA FUNCION DE

;

x=1

(ÉXITO)

DE TAL MANERA QUE:

 P( x) = P(1) + P(0) = P + 1 – P = 1
x

GRAFICAMENTE:

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LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION.

 x = E {x} =


x

x P (x) = (0) P (0) + 1 P (1) = (0) (1 – P) + (1) (P) =p

LA VARIANCIA DE LA DISTRIBUCION:

 x 2 = E { ( x –  x)2 } =


x

(x –  x)2 P (x) = (0 – P)2 P (0) + (1 – P)2 P (1) = P2 (1 – P) + (1 – P)2 P = P (1 – P) [P + (1 – P) ] = P (1 – P) = pq

RECORDAR QUE:

 x2 = E { x2} –  x22

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DISTRIBUCION BINOMIAL
SI EL EXPERIMENTO DE BERNOULLI SE LLEVA A CABO VARIAS VECES Y LAS PRUEBAS SON INDEPENDIENTES SE TIENE UN “PROCESO DE BERNOULLI”. SI LA VARIABLE ALEATORIA x REPRESENTA EL NUMERO TOTAL DE EXITOS Y EL EXPERIMENTO SE REPITE N VECES, ENTONCES SE BUSCARA CONOCER P(x) EJEMPLO: SE LANZA UNA MONEDA 3 VECES.ÉXITO: CAE AGUILA FRACASO: CAE SOL P (x = 0) =? P (x =0) = q . q . q = q3 = 3C0 p0 q3 P (x = 1) =? P (x = 1) = p . q • q + q • p• q + q• q• p = 3 p q2 = 3C1 p q2 P (x = 2) = ? ; P (x =2) = p. p. q + q. p. p + p. q. p. = 3 p2 q = 3C2 p2 q P (x =3) = ? P (x = 3) = p. p. p = p3 = 3C3 p3 q0 ; ; P (x = 1) = P P (x = 0) = 1 – P = q

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RELACION (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 n! nCr = ---------------r! (n – r) ¡

N PRUEBAS EN UN PROCESO DE BERNOULLI P (x = n) =? P (x = n) = NCn pn qN-n EN LA DISTRIBUCION BINOMIAL PARA LA V. A x QUE REPRESENTA EL NUMERO DE EXITOS EN UN PROCESO DE BERNOULLI, SE DEFINE LA FUNCION DE PROBABILIDAD: P (x) = NCn px qn-x P (X = n) = NCn pn qN-n µ=Np σ2 = N p q EJEMPLO. LA PROBABILIDAD DE QUE UNJUGADOR DE BASKET-BALL ANOTE UN TIRO LIBRE ES DE ¾. SUS TIROS SON INDEPENDIENTES, SI EN UN JUEGO PUEDE HACER 5 TIROS LIBRES, DETERMINAR: a) LA PROBABILIDAD DE QUE ACIERTE EN TODOS SUS TIROS b) LA PROBABILIDAD DE QUE FALLE TODOS SUS TIROS c) LA PROBABILIDAD DE QUE ACIERTE POR LO MENOS LA MITAD DE SUS TIROS. p = ¾ = 0.75 Espectro = 0,1,2,3,4,5 a) P ( x = 5 ) = 5C5 p5 q0 = (5¡/(5¡ (0)¡))(0.75)5(0.25)0 = 0.2373 = 23.73% b) P ( x = 0 ) = 5C0 p0 q5 = (5¡/(0¡ (5)¡)) (0.75)0(0.25)5 = 0.00097 = 0.097% ; q = ¼ = 0.25 ;N=5

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c) P ( x > 3 ) = P (x=3) + P (x=4) + P (x=5) = = 1 – ( P(x=2) + P(x=1) + P(x=0) )

DISTRIBUCION DE BERNOULLI. P P (x) = 1–P ;x=0 ;x=1

x=p

, 

2 x

= p (1 – p) = pq

DISTRIBUCION BINOMIAL. P(x) = NCx px qn-x ; x = 0, 1, 2, …., N

 x = Np



2 x

= Npq

DISTRIBUCION GEOMETRICA
SI EN UN PROCESO DE BERNOULLI SE QUIERE CONOCER LA DISTRIBUCION DEL NUMERO DE PRUEBAS EFECTUADAS HASTA OBTENER EL PRIMER ÉXITO O SEA EL NUMERO DE FRACASOS CONSECUTIVOS QUE PRECEDEN AL PRIMER ÉXITO, A DICHA DISTRIBUCION SE LE LLAMA GEOMETRICA. SEA x LA V. A. Y x = n EL NUMERO DE FRACASOSCONSECUTIVOS QUE PRECEDEN A UN ÉXITO, ENTONCES SE QUIERE CONOCER P (x =n) EN UNA PRUEBA DE BERNOULLI P (x = 1) = P P (x = 0) = 1 – P = q

P (x = n) = q• q• q• ……. •q •p n P (x = n) = qnp P (x = n) = qnp EJEMPLO: UN JUGADOR DE BALONCESTO HACE 5 TIROS. OBTENER LA DISTRIBUCION GEOMETRICA. FUNCION DE PROBABILIDAD

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p=¾ SOLUCION:...