Numerico

Programación y Métodos Numéricos

Carlos Conde, Arturo Hidalgo y Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

EJERCICIOS DE MÉTODOS ITERATIVOS PARA LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES PROPUESTOS EN EXÁMENES DE LA ASIGNATURA CURSO 2001-2002 Examen de control Siendo a un número real tal que a ≠ 0 se considera el sistema compatible determinado homogéneo: ⎧1 ⎪ 2.x ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = 0 a .y = 0 2

Dicho sistema se desea resolver mediante el método de gradiente con paso óptimo partiendo de un vector semilla (x(1), y(1)) ≠ (0,0) . Además se supone que todos los cálculos aritméticos se realizan sin ningún error de redondeo. Señala entre las opciones siguientes cuál es la única correcta en su totalidad: a) Las coordenadas (x(i+1) , y(i+1) )del vector obtenido encada iteración se relacionan con las coordenadas (x(i), y(i)) del vector con el que se comienza dicha iteración mediante la expresión: a2 .(a − 1).(y (i) )2 (i) (1 − a).(x (i) )2 (i+1) (i+1) x = (i) 2 .x , y = (i) 2 .y(i) 3 (i) 2 3 (i) 2 (x ) + a .(y ) (x ) + a .(y ) b) Las coordenadas (x(i+1) , y(i+1) )del vector obtenido en cada iteración se relacionan con las coordenadas (x(i), y(i)) del vectorcon el que se comienza dicha iteración mediante la expresión: x(i+1) = 3.(x (i) )2 + a2 .(a + 1).(y(i) )2 (i) (i+1) 3.(x(i) )2 + a2 .(a + 1).(y(i) )2 (i) .x , y = .y (x (i) )2 + a3 .(y(i) )2 (x(i) )2 + a3 .(y(i) )2

c) Las coordenadas (x(i+1) , y(i+1) )del vector obtenido en cada iteración se relacionan con las coordenadas (x(i), y(i)) del vector con el que se comienza dicha iteración mediantela expresión:
(i+1)

x

a2 .(a − 1).(y (i) )2 (i) = (i) 2 .x (x ) + a3 .(y(i) )2

,

y

(i+1)

a2 .(1 − a).(y (i) )2 (i) = (i) 2 .y (x ) + a3 .(y(i) )2

d) Ninguna de las otras tres opciones de este ejercicio es correcta.

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SOLUCIÓN: La matrizdel sistema dado ([A]) y el vector de segundos términos ({b}) son en este caso: ⎡1 ⎤ ⎢2 0⎥ ⎧0 ⎫ [A] = ⎢ ⎥ , {b} = ⎨ ⎬ ⎩0 ⎭ ⎢0 a ⎥ ⎢ ⎣ 2⎥ ⎦ En una iteración genérica del método de gradiente con paso óptimo se partirá del punto (x(i) , y(i)). En él, el vector residuo puede determinarse mediante: ⎧ x (i) ⎫ ⎧ x(i) ⎫ 1 ⎧ x(i) ⎫ (i) {r } = {b} − [A]. ⎨y(i) ⎬ = −[A]. ⎨y(i) ⎬ = − 2 . ⎨a.y(i) ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭verificándose por tanto que: 1 ⎧ x (i) ⎫ (i) (i) z = [A]. r = − . ⎨ 2 (i) ⎬ 4 ⎩a .y ⎭ por lo que el parámetro de descenso estará dado por: 1 T . (x(i) )2 + a2 .(y(i) )2 r (i) i r (i) 2. (x (i) )2 + a2 .(y(i) )2 4 ρi = = = T 1 (i) 2 3 (i) 2 (x(i) )2 + a3 .(y(i) )2 r (i) i[A]i r (i) . (x ) + a .(y ) 8 Todo lo anterior nos conduce finalmente a que:

{ }

{ }

{ } { } { } { }

(

)

()

(

(

)

)

(i) 2 2 (i) 2 ⎧ x(i+1) ⎫ ⎧ x (i) ⎫ ⎧ x(i) ⎫ 2. (x ) + a .(y ) (i) ⎨ (i+1) ⎬ = ⎨ (i) ⎬ + ρi . r = ⎨ (i) ⎬ + (x (i) )2 + a3 .(y (i) )2 ⎩y ⎭ ⎩y ⎭ ⎩y ⎭

{ }

(

(

)

) .⎛ − 1 ⎞. ⎧ x

⎫ ⎜ 2 ⎟ ⎨ (i) ⎬ = ⎝ ⎠ ⎩a.y ⎭
(i)

⎧ ⎛ (x(i) )2 + a2 .(y(i) )2 ⎞ ⎫ ⎪ x(i) . ⎜ 1 − ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ (x(i) )2 + a3 .(y(i) )2 ⎠ ⎪ ⎪ ⎝ =⎨ ⎬= (i) 2 2 (i) 2 ⎛ ⎞⎪ (x ) + a .(y ) ⎪ (i) ⎟⎪ ⎪ y .⎜ 1 − a. (i) 2 ⎜ (x ) + a3 .(y(i) )2 ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎩

( (

) )

( (

) )

⎧ 3 (i) 2 (i) 2 2 (i) 2 ⎞ ⎫ ⎛ (i) 2 ⎪ x(i) . ⎜ (x ) + a .(y ) − (x ) − a .(y ) ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ (x(i) )2 + a3 .(y(i) )2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ =⎨ ⎬= ⎛ (x(i) )2 + a3 .(y(i) )2 − a.(x(i) )2 − a3 .(y(i) )2 ⎞ ⎪ ⎪ (i) ⎟⎪ ⎪y .⎜ ⎜ ⎟⎪ (x(i) )2 + a3 .(y(i) )2 ⎪ ⎝ ⎠⎭ ⎩

( (

) )

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Carlos Conde, ArturoHidalgo y Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

⎧ a2 .(a − 1).(y (i) )2 (i) ⎫ .x ⎪ ⎪ (i) 2 3 (i) 2 ⎪ (x ) + a .(y ) ⎪ =⎨ ⎬ (i) 2 ⎪ (1 − a).(x ) .y (i) ⎪ ⎪ (x (i) )2 + a3 .(y(i) )2 ⎪ ⎩ ⎭

por lo que la opción correcta es la opción a).

Considera el sistema de ecuaciones lineales:

⎧x + y = 1 ⎨ y = 1 ⎩
cuya solución es (x*=0, y*=1). Dicho sistema se desea...