Numero Complejos Practicas

6

NÚMEROS COMPLEJOS

Página 146 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de
I
Z

a

Q

Imaginemos que solo se conocieran los números enteros, Z. Sin utilizar otro tipo de números, intenta resolver las siguientes ecuaciones: a) 3x = 15 c) 11x = –341 b) –2x = 18 d) 4x = 34 b) x = –9 d) No se puede.

I

a) x = 5 c) x = –31

I

Di cuáles de las siguientes ecuaciones se puedenresolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números enteros, Q. a) –5x = 60 c) 2x + 1 = 15 e) –3x – 3 = 1 b) –7x = 22 d) 6x – 2 = 10 f) –x + 7 = 6 b) x = – d) x = 2 4 3
Q

I

a) x = –12 c) x = 7 e) x = –

22 7

f) x = 1 .

Para b) y e) necesitamos

Página 147
El paso de
I
Q

a

Á

Intenta resolver, sin salir de a) 3x 2 – 12 = 0 c) 2x 2 + x – 1 = 0

Q

,las siguientes ecuaciones: b) x 2 – 6x + 8 = 0 d) x 2 – 2 = 0 b) x1 = 2, x2 = 4 d) x 2 = 2 → No se puede.

I

a) x1 = –2, x2 = 2 c) x1 = –1, x2 = 1 2

Unidad 6. Números complejos

1

I

Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones: a) x 2 – 9 = 0 c) x 2 – 3x – 4 = 0 e) 7x 2 – 7x = 0 ¿Qué ecuaciones se pueden resolver en
Q

b) 5x 2 – 15 = 0 d) 2x 2 – 5x + 1 = 0 f ) 2x 2 + 3x = 0 ?
Á¿Para qué ecuaciones es necesario el conjunto de los números reales,
I

?

a) x1 = –3, x2 = 3 c) x1 = –1, x2 = 4 e) x1 = 0, x2 = 1 Para b) y d), necesitamos
Á

b) x1 = – √ 3 , x2 = √ 3 d) x1 = f) x1 = – . 5 – √ 17 5 + √ 17 , x2 = 4 4 3 , x2 = 0 2

Á

aún no es suficiente Intenta resolver en a) x 2 – 2 = 0 c) 5x 2 – x – 2 = 0 e) x 2 – 2x + 5 = 0
Á

I

las siguientes ecuaciones: b)2x 2 – 5x + 1 = 0 d) x 2 + 1 = 0 f ) 5x 2 + 10 = 0 b) x1 = 5 – √ 17 5 + √ 17 , x2 = 4 4

I

a) x1 = –√ 2 , x2 =√ 2 c) x1 = e) x = 1 – √ 41 1 + √ 41 , x2 = 10 10 2 ± √ –16 → No se puede. 2

d) x 2 = –1 → No se puede. f) x 2 = –2 → No se puede.

I

Resuelve las tres últimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones números reales y la expresión √–1 .

I

d) x = ± √ –1 , x1= – √ –1 , x2 = √ –1 e) x1 = 1 – 2 √ –1 , x2 = 1 + 2 √ –1 f) x1 = – √ 2 √ –1 , x2 = √ 2 √ –1

Página 149
1. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros: 5 – 3i ; 1 + 5 i; 2 4 –5i ; 7;

√3 i ;

0;

–1 – i ;

–7;

4i

Unidad 6. Números complejos

2

• Reales: 7, 0 y –7 Imaginarios:5 – 3i, 1 5 + i, –5i, √ 3 i, –1 – i, 4i 2 4

Imaginarios puros: –5i, √ 3 i, 4i • Representación:
4i

— √ 3i i –7 –1 – i

1 5 —+—i 2 4 1 7

5 – 3i –5i

2. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) x 2 + 4 = 0 a) x = b) x 2 + 6x + 10 = 0 c) 3x 2 + 27 = 0 d) 3x 2 – 27 = 0

± √ –16 ± 4i = = ± 2i; 2 2

2i

x1 = 2i, x2 = –2i
–2i

b) x = =

–6 ± √ 36 – 40–6 ± √ –4 = = 2 2 –6 ± 2i = –3 ± i; x1 = –3 – i, x2 = –3 + i 2

–3 + i

–3 – i

c) x 2 = –9 → x = ± √ –9 = ±3i x1 = –3i, x2 = 3i

3i

–3i

Unidad 6. Números complejos

3

d) x 2 = 9 → x = ±3 x1 = –3, x2 = 3
–3 3

3. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) 3 – 5i c) –1 – 2i e) 5 g) 2i a) Opuesto: –3 + 5i Conjugado: 3 + 5i
–3 + 5i 3 + 5i

b) 5 + 2i d) –2 + 3if) 0 h) –5i

3 – 5i

b) Opuesto: –5 – 2i Conjugado: 5 – 2i
5 + 2i

–5 – 2i

5 – 2i

c) Opuesto: 1 + 2i Conjugado: –1 + 2i

–1 + 2i

1 + 2i

–1 – 2i

Unidad 6. Números complejos

4

d) Opuesto: 2 – 3i Conjugado: –2 – 3i

–2 + 3i

–2 – 3i

2 – 3i

e) Opuesto: –5 Conjugado: 5
–5 5

f) Opuesto: 0 Conjugado: 0
0

g) Opuesto: –2i Conjugado: –2i
2i

–2i

h)Opuesto: 5i Conjugado: 5i
5i

–5i

Unidad 6. Números complejos

5

4. Sabemos que i 2 = –1. Calcula i 3, i 4, i 5, i 6, i 20, i 21, i 22, i 23. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. i 3 = –i i 20 = 1
CRITERIO:

i4 = 1 i 21 = i

i5 = i i 22 = –1
c

i 6 = –1 i 23 = –i

Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue: i n = i 4c + r = i 4c ·...