Numero de funciones de launiversidad de granada

Ejercicios de Análisis Matemático Números, desigualdades y funciones elementales
1. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que p 2 no es racional.

Solución. Que un número no es racional quiere decir que no puede escribirse como cociente de números enteros. Para probar que un número es irracional suele razonarse por contradicción: se supone que el número en cuestión esracional y se llega a una situación contradictoria. Una prueba p p clásica de que 2 es irracional es como sigue. Supongamos que 2 fuera racional. Entonces existirán números naturales m y n sin factores comunes, en particular m y n no podrán ser ambos p m pares, tales que 2 D , esto es, 2n2 D m2 . La igualdad 2n2 D m2 nos dice que m2 es par lo n cual implica que también tiene que serlo m. Así podemosescribir m D 2p . Sustituyendo en la igualdad anterior y simplificando tenemos que n2 D 2p 2 , y de aquí se sigue, al igual que antes, que n tiene que ser par y ésta es la contradicción anunciada. © 2. Calcula para qué valores de x se verifica que 2x 3 1 < . xC2 3 Solución. Claro está, x ¤ 2 (recuerda, no se puede dividir por 0). Como al multiplicar una desigualdad por un número positivo ladesigualdad se conserva, deducimos que si x > 2, la desigualdad dada equivale a 6x 9 < x C 2, es decir, x < 11=5. Luego para 2 < x < 11=5 la desigualdad es cierta. Veamos ahora qué pasa si x < 2. En tal caso, al multiplicar por x C2 < 0 la desigualdad equivale a 6x 9 > x C 2, es decir, x > 11=5 condición que no puede darse si x C 2 < 0. En resumen, la desigualdad es cierta para 2 < x < 11=5.

Otra formade proceder consiste en utilizar el hecho de que una desigualdad es equivalente a la obtenida al multiplicarla por una cantidad positiva. Multiplicando la desigualdad dada por .x C 2/2 obtenemos que dicha desigualdad equivale a la siguiente .2x 3/.x C 2/ < 1 .x C 2/2 3

Haciendo las operaciones indicadas obtenemos que esta desigualdad es lo mismo que 5x 2 x 22 < 0. Las soluciones de la ecuación5x 2 x 22 D 0 son a D 2 y b D 11=5. Por tanto, 5x 2 x 22 D 5.x C 2/.x 11=5/. Resulta así que la desigualdad dada equivale a .x C 2/.x 11=5/ < 0. Teniendo en cuenta que para que un producto de dos números sea negativo dichos números deben ser uno positivo y otro negativo, concluimos que debe ser x C 2 > 0 y x 11=5 < 0, es decir 2 < x < 11=5 (la otra posibilidad x C 2 < 0 y x 11=5 > 0 no puededarse). © 3. Calcula para qué valores de x se verifica que 3.x a/a2 < x 3 a 3 < 3.x a/x 2

Solución. La desigualdad del enunciado equivale a las siguientes dos desigualdades: x3 a3 3.x a/a2 > 0I x3 a3 3.x a/x 2 < 0

Teniendo en cuenta que x 3 x3 x3 a3 a3 3.x

a 3 D .x a/a2 D .x

a/.x 2 C ax C a2 /, resulta a/.x 2 C ax 2a2 / D .x a/2 .x C 2a/ a/2 .x C a=2/ a/. 2x 2 C ax C a2 / D 2.x

3.x

Si a> 0 entonces x C 2a > x C a=2 y la desigualdad se cumple si, y sólo si, x > x ¤ a.

Deducimos que la desigualdad del enunciado se verifica si, y sólo si, x ¤ a, x C 2a > 0, y x C a=2 > 0. a=2 y

a/x 2 D .x

Si a < 0 entonces x C a=2 > x C 2a y la desigualdad se cumple si, y sólo si, x > 2a.
Dpto. de Análisis Matemático

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Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático2

4. Sabiendo que a C b > c C d; a > b; c > d; ¿se verifica necesariamente alguna de las desigualdades: a > c; a > d; b > c o b > d ? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso. Solución. Que las letras no te despisten: lo que te están diciendo es que si la suma de dos números distintos entre sí es mayor que la suma de otros dos números distintos entre sí, ¿es cierto, por ejemplo, que elmayor del primer par es más grande que el mayor del segundo par? Está claro que no tiene por qué ser así: los otros sumandos pueden compensar la diferencia. Por ejemplo 252 C250 > 500 C1. Concluimos que no tiene por qué ser cierto que a > c ni tampoco b > c. El ejemplo 500 C 2 > 251 C 250 prueba que tampoco tiene por qué ser b > d. Intenta ahora buscar un ejemplo en el que no se cumpla que a > d...