NUMERO DE ORO

LA REGLA ÁUREA Y EL NÚMERO DE ORO
Prof. Hugo Omar Pajello
hpajello@ing.unrc.edu.ar
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Río Cuarto



_____________________ INTRODUCCIÓN – DEFINICIONES ­­­­­­­­­­­­­­­­­____________________


• Proporción
Es la igualdad entre dos razones.

Proporción de cuatro términos ó proporción discontinua:
Es de la forma:
Los términos a y d sellaman extremos y los términos b y c medios de la proporción.

Proporción de tres términos o proporción continua:
Es de la forma el término b se llama medio proporcional entre a y c.


• Media y extrema razón de un segmento
Se dice que un punto C divide a un segmento en “media y extrema razón” cuando la parte mayor de esta división x es medio proporcional entre el segmento total a y laparte menor y






Esto también se llama “división áurea” del segmento o “divina proporción”.
La parte mayor, x, se llama “segmento áureo de a”.


• Relación entre el segmento áureo “x” y su resto “y” (primera sorpresa!!)

Si x es el segmento áureo de a, resultará que:
restando 1 en ambos miembros
pero como a = x + y resulta:y = a – x
reemplazando en la expresión anterior:

invirtiendo estas razones obtenemos que (1)

entonces ¡¡“y”es segmento áureo de “x”… y este proceso será continuo !!



____________________DOS CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS ___________________


1) Dado un segmento áureo ¿cómo encontrar el segmento total?


Condiámetro igual al segmento áureo AB se traza una circunferencia tangente al segmento áureo en un extremo del mismo.
La semirrecta trazada desde el otro extremo del segmento áureo y que pasa por el centro de la circunferencia, determina con ésta, el segmento total


Demostración:
Recordando que se llama “potencia de un punto con respecto a una circunferencia” al producto de los segmentos que seobtienen al trazar por ese punto una secante a la circunferencia.
Por ejemplo:



La potencia de A respecto a la circunferencia del ejemplo anterior, será:

La parte mayor entre y es que es igual a la medida del segmento áureo:
= .
Entonces: =
de donde obtenemos
Luego es el segmento total.


2) Dado el segmento ¿cómo encontrar su segmentoáureo?

En la construcción anterior, el segmento quedó dividido en dos, la parte menor y la parte mayor que es su segmento áureo.
Por la propiedad (1) la parte menor es el segmento áureo de la parte mayor que es igual a . En consecuencia, llevando la medida de sobre el segmento , obtenemos su segmento áureo.




___________________ EL NÚMERO DE ORO Ó NÚMERO ÁUREO____________________

Si x es el segmento áureo de a, entonces, como a = x + y , resulta y = a – x .

Luego como:
a (a – x) = x2 x2 + ax -a2 = 0

= = =
como x > 0



de donde resulta que la razón entre la longitud de un segmento y la de su segmento áureo, llamada razón áurea es:


Esta constante es un número irracional cuadrático conocido comonúmero áureo ó número de oro.
Entonces: =
racionalizando el denominador
. = = = = = (2)


Esta expresión es más conocida que la anterior, entonces:
si en la proporción anterior consideramos a = 1
la razón áurea será = (3)


y la citada proporción será:además, como x + y = 1
resulta que x + x2 = 1

y utilizando (3) nos queda: (4)




_________________ OTRA FORMA DE GENERAR LA SECCIÓN ÁUREA _______________

Sea a la longitud de un segmento y x la de su segmento áureo, entonces resulta:

a = x + y y...