Numero Real

NÚMERO REAL

El conjunto de los números racionales se nos hace insuficiente a la hora de representar
con exactitud magnitudes tan “reales” como la diagonal de un cuadrado cuyo lado mida
1, por ejemplo, o la de una circunferencia cuyo diámetro mida 2. Ningún número
racional elevado al cuadrado nos da 2, que es lo que exige el teorema de Pitágoras para
el cuadrado del primer ejemplo, ni haytampoco un número racional que exprese π, es
decir, la tan conocida relación entre una circunferencia y su diámetro.
Por estas y otras razones se nos hace necesario ampliar el conjunto de los números con
que veníamos trabajando hasta ahora, y llega el momento de introducir los llamados
números reales. Veremos que el conjunto de los números reales (R) se
estructura como un cuerpo conmutativo (apartir de las propiedades que verifican en él
la suma y el producto), ordenado (es posible determinar en él un criterio de orden, con
determinadas consecuencias) y completo (a diferencia del conjunto de los racionales,
que es denso pero no completo). Presentaremos estas tres características mediante un
conjunto de axiomas .

1. Axiomas de cuerpo y propiedades operatorias
Definición :El conjunto R, de los números reales, es un conjunto numérico en el que definimos dos
operaciones: suma [+: (a,b) → a+b ] y producto [· : (a,b) → a . b ] que verifican los
siguientes axiomas:

Axioma 1 La suma es conmutativa: a + b = b + a

Axioma 2 La suma es asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

Axioma 3 Existe neutro (0) para la suma: 0 + a = a

Axioma 4 Todo real tiene un opuesto:∀a∈R, ∃ (-a) ∈R / a + (-a) = 0

Axioma 5 El producto es conmutativo a . b = b . a

Axioma 6 El producto es asociativo a . (b . c) = (a . b) . c

Axioma 7 Existe neutro (1) para el producto 1 . a = a

Axioma 8 Todo real diferente de 0 tiene un inverso
∀a∈R, a≠0, ∃ a-1 ∈R / a . a-1 = 1

Axioma 9 El producto es distributivo respecto de la suma:
a. (b + c) = a . b + a . c




Comoconsecuencia de la definición anterior, podemos afirmar que la estructura
{ R , + , · } es un cuerpo conmutativo.

A continuación se detallan algunas definiciones y teoremas que nos permitirán trabajar con mas libertad sobre el cuerpo de los números reales, sin el afán de desarrollar toda la teoria de los números reales

Teorema 1 (Propiedad cancelativa de la suma)

Hipótesis: c + a = c + bTesis: a = b

Demostración:
El axioma 4 nos permite establecer que dado el real c, existe su opuesto (-c), que
podemos sumar a ambos miembros de la hipótesis, sin que se altere la igualdad:
(-c) + c + a = (-c) + c + b
Ahora el axioma 2 nos permite asociar términos:
[(-c) + c] + a = [(-c) + c] + b
Según el axioma 4, (-c) + c = 0 , por lo que la igualdad anterior nos queda así:
0 + a = 0 +b
Y finalmente, aplicando el axioma 3, llegamos a la tesis:
a = b))

Teorema 2 (Unicidad del neutro aditivo)

Hipótesis: ∃ 0’∈ R / a + 0’ = a
Tesis: 0’ = 0

Demostración:
La hipótesis establece a + 0’= a, y el axioma 3 nos dice que a + 0 = a. En consecuencia,
podemos afirmar lo siguiente:
a + 0’ = a + 0
Si ahora aplicamos la propiedad cancelativa demostrada en el teorema 1, llegamos anuestra tesis:
0’ = 0))
Es decir, el neutro de la suma es único.

Definición 2
Diferencia. Dado un par de reales (a , b) llamaremos diferencia entre a y b a un
número real que se representa d = a – b, y que verifica a = d + b

Teorema 3 (Existencia de la diferencia de reales)

Hipotesis: a∈R b∈R
Tesis: ∃ d∈R / d + b = a

Teorema 4 (Unicidad de la diferencia)

Hipótesis: a – b =d a – b = d’
Tesis: d = d’

Teorema 5 (El 0 es absorbente para la multiplicación)

Hipótesis: a∈R
Tesis: a . 0 = 0

Teorema 6 (Propiedad cancelativa del producto)

Hipótesis: a.b = a.c a ≠ 0
Tesis: b = c

Teorema 7 (Unicidad del neutrodel producto)

Hipótesis: ∃ 1’∈ R / a.1’ = a
Tesis: 1’ = 1

Definición 3
Cociente. Dado un par de reales (a , b) con b ≠ 0, llamaremos...