Numeros armonicos

COLEGIO: CENTRO EDUCATIVO SERRANO MONTALBAN

ALUMNO: CONTRERAS TELLEZ MARCO RICARDO


MATERIA: MATEMATICAS

TRABAJO DE INVESTIGACION: PROGRESIONES ARMONICAS

GRADO: 6TO

AREA: 1

CICLOESCOLAR: 2012 - 2013

INTRODUCCION
En este trabajo se hablara acerca de que son las progresiones armónicas, y también veremos que ventajas y desventajas tiene, podremos ver también que es una mediaarmónica, que es y veremos también al igual que las progresiones armónicas sus ventajas y desventajas, veremos las formulas que abarcan dichas progresiones las propiedades que tiene, y los diferentestipos de serie que hay y sus diferentes usos en las matemáticas que tienen.

PROGRESIONES ARMONICAS
En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:


Se llama asíporque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7.

Propiedades
Divergencia de la serie armónica
Laserie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término portérmino, que esta otra serie:



que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un granpaso para las matemáticas medievales.
Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).
Convergenciade la serie armónica alternada
La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.
Serie armónica parcial
RepresentaciónSi definimos el n-ésimo número armónico como:


Entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de esto es así porque la suma se aproxima a la integral.

cuyo valor es...