Numeros Cardinales

Sobre el número
cardinal Usos del número:
Se reconocen distintos usos del número natural. Los
usos o significados del número más destacados son:
Introducción:
1º. Para medir o describir el tamaño de un conjunto
2º. Para describir la posición de un elemento en una
sucesión
Los números con los que describimos el tamaño o la
numerosidad de los conjuntos se llaman números cardinales.Los números con los que describimos la posición de un
elemento en una sucesión se llaman números ordinales.
Los números ordinales son los números que empleamempleamos para
contar y ordenar.I. Número cardinal
La exposición está dividida en dos partes:
Ideas generales sobre el número cardinal, para el caso de
conjuntos finitos
Ideas generales sobre el número cardinal, para el caso deconjuntos infinitosIdeas generales sobre el número cardinal para el
caso de conjuntos finitos
PRIMERA PARTE.
El cardinal indica la cantidad de elementos
constitutivos de un conjuntoHay dos maneras de interpretar la frase
‘cantidad de elementos de un conjunto’
 Primer sentido o ámbito de interpretación:
‘tener la misma (mayor o menor) cantidad de
elementos’ o ‘la misma cardinalidad’.
Segundo sentido o ámbito de interpretación.
Asignación específica de un número cardinal a un
conjunto.Primer sentido o ámbito de interpretación:
‘tener la misma (mayor o menor) cantidad de
elementos’
o
‘la misma cardinalidad’.
Se trata del ‘sentido comparativo’ del término. En este caso,
la cantidad de elementos se mide a través de una
comparación.Si A = { a , c, d , w , l } YB= { 1 , 2, 3 , 4 , 5 }
Por ejemplo,
Entonces A y B tienen el mismo número de elementos.
Tienen la misma cardinalidad.¿Cómo se puede saber que dos conjuntos tienen la
misma cardinalidad ?:
A través de la existencia de una biyección entre los dos
conjuntos. Si existe esa biyección se puede decir que los
conjuntos tienen la misma cardinalidad.
Definición: si es posibleestablecer una biyección entre los
elementos de dos conjuntos, entonces se dice que los
conjuntos son equivalentes.Pero ¿qué hay detrás de esa biyección?
Para establecer una biyección (y cualquier aplicación o
función entre dos conjuntos) es necesario introducir un
orden para que los elementos de ambos conjuntos sólo
sean considerados una sola vez. Así que al establecer la
biyección sevan ordenando los elementos de los conjuntos.
Pero,
¿es necesario un cierto tipo de orden o puede ser
cualquiera?
Es decir, ¿el cardinal depende de cómo ordenemos al conjunto?Por ejemplo
A’={ c , d , w , l , a }
tiene la misma cardinalidad que A = { a , c, d , w , l }
Claro que no
(es posible establecer una biyección entre ellos). De lo anterior podemos colegir los siguientesresultados:
Resultado 1: El cardinal de un conjunto no depende de su
orden.
Resultado 2. Para establecer una biyección con el objeto
de decidir si dos conjuntos son equivalentes es necesario
ordenarlos. Pero ese orden es variable (o vicariante, para
emplear terminología piagetiana) ya que el cardinal
resultante no depende de un orden en particular.Segundo sentido o ámbito de interpretación
Elsegundo sentido que se le puede dar a la expresión ‘la cantidad de
elementos de un conjunto’ se refiere a la asignación específica de un
número cardinal.
P o r e j e m p l o :
Si A = { a , c, d , w , l }
e n t o n ce s e l ca r d i n a l d e A o ca r d ( A ) ó # ( A ) e s 5
Si B = { ca b a l l o , p e r r o , g a t o }
En t o n ce s e l ca r d i n a l d e B ó ca r d ( B ) ó # ( B ) e s 3 .
Si C = e s e l co n j u n t o v a cí o
e n t o n ce s e l ca r d i n a l d e C ó ca r d ( C ) ó # ( C ) e s 0
Si D = { 1 , 2 } e n t o n ce s e l ca r d ( D ) ó # ( D ) e s 2 .
Pregunta...