Numeros Compeljos

NÚMEROS COMPLEJOS

INTRODUCCION
Desde Al'Khwarizmi (800 DC), quien fuera precursor del Álgebra, sólo se obtenían las soluciones de las raíces cuadradas de números positivos.
La primera referencia conocida relacionada con raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos (entre ellos Herón de Alejandría en el siglo Ι antes de Cristo), ella surge comoresultado de una imposible sección de una pirámide.
Los números complejos se hicieron más populares en el siglo XVI, cuando se buscaba hallar las fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia o Cardano y aunque sólo estaban interesados en las raíces reales, se encontraron con la necesidad de manejar raíces de númerosnegativos.
Girolamo Cardano (1501-1576) menciona por primera vez en su libro Ars Magna (1545) la necesidad de definir y utilizar números que respondan a la forma a con a<0. En el libro aparece el siguiente problema: “dado un segmento de 10 unidades, dividirlo en dos partes de manera tal, que el área del rectángulo que se obtenga con esas dos partes sea de 40 unidades cuadradas”.
Fue Karl F.Gauss (1777-1855) físico, matemático y astrónomo alemán quien usó los números complejos en forma realmente confiable y científica. En 1799 demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica de cualquier grado, pertenecen a un conjunto de números que él llamo complejos, y que este conjunto estaba formado por un número ordinario (número real) más un múltiplo de la raíz cuadrada de –1,llamado unidad imaginaria.
La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el
Siglo XIX.
DEFINICION
Se define un número complejo como un par ordenado de números reales.
C = {(a,b) /a,b∈ R}.
La relación de igualdad en este conjunto es tal que ( ) 1 1 1 z = a ,b
Coincidiría con ( ) 2 2 2 z = a ,b, si y solo si 1 2 a = a y 1 2 b = b.
FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJOUn número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.



ARGUMENTO DE UN NUMERO COMPLEJO
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg (z).
.Expresión de un número complejo en forma polar.
z = rα
|z| = r es el módulo.
Arg (z) = es el argumento.
Ejemplos
Pasar a la forma polar:



z = 260º



z = 2120º
OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
Multiplicación:
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de losargumentos.

645° · 315° = 1860°
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.
rα · 1β = rα + β

División
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.

645°: 315° = 230°
Potencia
La potenciaenésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.

(230°)4 = 16120°
Raíz

La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es en la raíz enésima del módulo.

Su argumento es:

k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)






FORMULA E MOIVRE
La fórmula de Moivre permite obtenerde forma sencilla fórmulas trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre
y el desarrollo del binomio de Newton

De este modo si, por ejemplo, queremos obtener una fórmula para en función del seno y del coseno de , bastará con considerar por un lado...