Numeros complejos algebra lineal

TESOEM CUADERNILLO DE APUNTES DE MATEMÁTICAS III (ÀLGEBRA LINEAL)
ELABORADO POR: LUIS IGNACIO SANDOVAL PAÈZ

M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paèz

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ÌNDICE
Números complejos. …………………3 Introducción……………………………3 Números complejos…………………..4 Matrices…………………………………9 Introducción……………………………9 Concepto de matriz…………………..11 Matrices iguales………………………13 Matrices especiales………………….14 Matriztraspuesta……………………..21 Suma de matrices…………………….25 Multiplicación de matrices………….39 Sistemas de ecuaciones…………….54 Determinantes…………………………75 Matriz inversa………………………….93 Regla de cramer………………………103 Espacios vctoriales……………………...108 Introducción…………………………….108 Valores propios y vecrtores propios…..119 Introducción……………………………119 Bibliografía……………………………..121

M. en C. Luis Ignacio Sandoval Paèz

2Números complejos. INTRODUCCIÒN
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Heron de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios degrados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamenteaceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX. Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis deFourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el númerocomplejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo complejoes igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

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En ecuaciones diferenciales, eshabitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = ert.

NÙMEROS CONPLEJOS Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de lospolinomios cosa que con los reales no era posible. Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i. Donde . Cada complejo se representa en forma binomial como a + i·b donde a es la parte real i b es la parte imaginaria. Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un...