Numeros Complejos Algebra
Páginas: 5 (1199 palabras)
Publicado: 19 de junio de 2012
NÚMEROS COMPLEJOS
Leonor Carvajal
Leonor Carvajal
NÚMEROS COMPLEJOSEl conjunto de números con el que hemos trabajado hasta el momento, es el de los números reales.
[pic]
-e ½ [pic] [pic]
[pic]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
A cadanúmero le corresponde un solo punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un solo número real. Se dice que hay una correspondencia BIUNÍVOCA entre LOS NÚMEROS REALES Y LOS PUNTOS DE UNA RECTA.
Para resolver la ecuación [pic], debemos encontrar dos números que elevados al cuadrado nos de por resultados, -9. Esto es imposible en el conjunto de los Números Reales.
Se crean entonces, losnúmeros imaginarios que con los ya conocidos, forman el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: C
[pic]
Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales.
El complejo al que llamaremos Z, se simboliza:
Z = ( a; b) con [pic]
Primera componente o Segunda componente ocomponente real de Z componente imaginaria de Z
Leonor Carvajal
Así como los números reales se identifican con puntos de una recta, los NÚMEROS COMPLEJOS se identifican con puntos del plano.Eje imaginario
b [pic]
a Eje real
Complejos particulares
1) Complejo nulo: es aquel cuyas dos componentes son ceros: ( 0 ; 0 ).
2) Complejo real: es aquel quetiene la segunda componente nula: ( a; 0 ). Sobre la recta real es el número a.
3) Complejos imaginarios o imaginarios puros: son los que tienen la primera componente nula: (0 ; b).
Se corresponden con puntos del eje imaginario.
3-1) Unidad imaginaria: es el par ( 0; 1) y le asignaremos la letra j. O sea, j = ( 0 ; 1).
4) Complejos iguales: son los que tienen las componenteshomólogas iguales.
[pic] son iguales [pic]
Se simbolizan Z1 = Z2
5) Complejos opuestos: son los que tienen las componentes homólogas, opuestas.
[pic] son opuestos [pic]
Se simbolizan Z1 = - Z2 o bien Z2 = - Z1. Son simétricos con respecto al origen de coordenadas.
6) Complejos conjugados: son los quesólo difieren en el signo de la segunda componente.
[pic] son conjugados [pic]
Se simbolizan [pic] o bien [pic]. Son simétricos con respecto al eje real.
Leonor Carvajal
Operaciones con complejos comopares ordenados de números reales
1) Adición: Sean Z1= ( a ; b ) y Z2 = ( c ; d ). Z1 + Z2 = Z3 / Z3 = ( a + c ; b + d )
Propiedades: * Ley de composición interna: está asegurada por la definición de adición de complejos.
* Ley conmutativa: [pic]Z1;[pic]Z2: Z1 + Z2 = Z2 + Z1
* Ley asociativa: [pic]Z1;[pic]Z2 ; [pic]Z3:...
Leonor Carvajal
Leonor Carvajal
NÚMEROS COMPLEJOSEl conjunto de números con el que hemos trabajado hasta el momento, es el de los números reales.
[pic]
-e ½ [pic] [pic]
[pic]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
A cadanúmero le corresponde un solo punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un solo número real. Se dice que hay una correspondencia BIUNÍVOCA entre LOS NÚMEROS REALES Y LOS PUNTOS DE UNA RECTA.
Para resolver la ecuación [pic], debemos encontrar dos números que elevados al cuadrado nos de por resultados, -9. Esto es imposible en el conjunto de los Números Reales.
Se crean entonces, losnúmeros imaginarios que con los ya conocidos, forman el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: C
[pic]
Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales.
El complejo al que llamaremos Z, se simboliza:
Z = ( a; b) con [pic]
Primera componente o Segunda componente ocomponente real de Z componente imaginaria de Z
Leonor Carvajal
Así como los números reales se identifican con puntos de una recta, los NÚMEROS COMPLEJOS se identifican con puntos del plano.Eje imaginario
b [pic]
a Eje real
Complejos particulares
1) Complejo nulo: es aquel cuyas dos componentes son ceros: ( 0 ; 0 ).
2) Complejo real: es aquel quetiene la segunda componente nula: ( a; 0 ). Sobre la recta real es el número a.
3) Complejos imaginarios o imaginarios puros: son los que tienen la primera componente nula: (0 ; b).
Se corresponden con puntos del eje imaginario.
3-1) Unidad imaginaria: es el par ( 0; 1) y le asignaremos la letra j. O sea, j = ( 0 ; 1).
4) Complejos iguales: son los que tienen las componenteshomólogas iguales.
[pic] son iguales [pic]
Se simbolizan Z1 = Z2
5) Complejos opuestos: son los que tienen las componentes homólogas, opuestas.
[pic] son opuestos [pic]
Se simbolizan Z1 = - Z2 o bien Z2 = - Z1. Son simétricos con respecto al origen de coordenadas.
6) Complejos conjugados: son los quesólo difieren en el signo de la segunda componente.
[pic] son conjugados [pic]
Se simbolizan [pic] o bien [pic]. Son simétricos con respecto al eje real.
Leonor Carvajal
Operaciones con complejos comopares ordenados de números reales
1) Adición: Sean Z1= ( a ; b ) y Z2 = ( c ; d ). Z1 + Z2 = Z3 / Z3 = ( a + c ; b + d )
Propiedades: * Ley de composición interna: está asegurada por la definición de adición de complejos.
* Ley conmutativa: [pic]Z1;[pic]Z2: Z1 + Z2 = Z2 + Z1
* Ley asociativa: [pic]Z1;[pic]Z2 ; [pic]Z3:...
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