Numeros complejos

Departamento de Matemática --- Facultad de Ciencias --- Universidad de Utah
Matemáticas 1010 en línea
Números complejos
Recordemos cómo hemos construido el sistema de numeración : Comenzamos con el conjunto de los números naturales, lo amplió para los enteros para hacer la resta siempre es posible, se expandió a los números racionales para hacer la división siempre es posible (excepto ladivisión por cero), y luego ampliado a números reales para dar cuenta de la existencia de números que manifiestamente no son racionales.
Tenemos que ampliar el sistema de los números una vez más, a fin de incluir los números complejos. Desafortunadamente no es fácil motivar a esta expansión como convincente como las expansiones anteriores. Los números complejos tienen una enorme gama de aplicaciones,que se harán evidentes a medida que avanzar en Matemáticas, Ciencias e Ingeniería, pero puede ser difícil de apreciar en esta etapa.
Para nuestros propósitos se comienza con la observación de que no existe un número real  de tal manera que

Esto se deriva del hecho de que el cuadrado de un número positivo es positivo, y que de un número negativo es positivo también. Por lo tanto no hay cifraspositivas o negativas cuyo cuadrado es negativo (y la plaza de cero, por supuesto, también es no-negativo).
Ahora dar un salto de fe de la clase de matemáticas que a veces da un mal nombre. No sabemos de un número que satisface la ecuación anterior, por lo que se estipula que no hay una solución y le damos un nombre. Nosotros lo llamamos .
Sólo hay dos cosas sobre  lo que necesitamos saber yapreciar. Uno de ellos es el hecho de que

El segundo hecho es que definimos las operaciones aritméticas con  de manera que el derecho común de la aritmética seguir celebrando.
Vamos a considerar algunas de las consecuencias de este hecho. Obtenemos, en particular,

Es evidente cómo este proceso continúa. Los poderes del  con números naturales como los exponentes son  y así por siempre. Tambiéntenemos, por ejemplo, , , , , Etc ¿Qué pasa con la suma de  y un número real como ? En otras palabras, ¿cuál es ? No hay forma de simplificar esta expresión, y así lo dejamos como está!
Vamos a hacer un balance y establecer un lenguaje. El símbolo  se llama la unidad imaginaria. Un número complejo  es una expresión que se puede escribir en la forma  donde  y  son números reales (y  semultiplica ). Esa forma particular, es a veces llamado el formulario normalizado de un número complejo.  se llama la parte real de , Y  es su parte imaginaria. Si la parte real de  sea cero y la parte imaginaria no nula, entonces  se llama un número imaginario. (Si el imaginario de todo es cero, entonces  es un número real.) Si usted quiere poner de relieve que la parte real es cero se puede llamar alnúmero imaginario puro o puramente imaginario.
Tenga en cuenta que la parte imaginaria de un número complejo es en realidad un número real (y no, como usted razonablemente puede esperar, un imaginario número).
Consideremos, por ejemplo, el número complejo . Su parte real es , Y su parte imaginaria es . El número  también es un número compleja. Su forma estándar es , Su parte real , Y su parteimaginaria . El número  es imaginario, el número  es real. Ambos números son complejas. De hecho, todos los números reales y todos los números imaginarios son complejos. Por otra parte, algunos números complejos son reales, algunos son imaginarios, y algunos no son ni.
(A un lado pequeña: El libro de texto define un número complejo para ser imaginario, si su parte imaginaria es distinto de cero. Según estadefinición un número imaginario puede tener una parte real de cero no. Por ejemplo, el número  sería imaginario. Esa definición no es estándar. Supongo que es sólo un error. En cualquier caso, no debería adoptar esta definición, no es útil.)
El hecho de que algunos números son imaginarios no quiere decir que son inferiores o misterioso, o algo menos que real. Simplemente significa que son...