Numeros complejos

a +bi

Números complejos.
La cantidad − se llama la unidad imaginaria, se representa con el símbolo i y tiene la propiedad de que = −.

Un número de la forma , en donde es cualquier númeroreal e es igual a la unidad imaginaria, recibe el nombre de número imaginario puro.

Un número de la forma + , en donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, se llama un númerocomplejo.

Operaciones fundamentales
 Suma
 Resta  Multiplicación

 División

Propiedad de los números reales Para a>0 y b>0, ∙ =

Propiedad de los números imaginarios

Para a>0 yb>0, − ∙ − ≠

− (−) =

Lo correcto se obtiene como sigue: − ∙ − = ∙ = 2 = −

Para evitar errores
 Escribiremos los números complejos en forma canónica y haremos

operaciones con “i”como cualquier otra literal, reemplazando al final las potencias de “i” como sigue:
Representación Equivalencia
= −

= − = 2 ∙ = −1 = − = ( 2 )2 = −1 = = 4 ∙ = = 5 . = ∙ = 2 = −
2.

Potencias de i
i
1

i  1
2

i 3  i i 1
4

i i
5

1

i
Por ejemplo:
254 4 63

i  1 
6

i  (i )  i  1(1)  1
2
Ing. Diana Cabañas Hau.Propiedades algebraicas
Ley de clausura: z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.
La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo.

Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 z1 z2 = z2 z1 Ley asociativa: (z1 +z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Ley distributiva: z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Ing. Diana Cabañas Hau.

Ing. Diana Cabañas Hau.

0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)
z +(-z) =(-z)+z = 0 (Opuesto para la suma) z ·1 = 1 · z = z
(Identidad para el producto) (Inverso para el producto)

z · z-1 = z-1 · z = 1
(Para todo z distinto de 0)

{C,+,·} es un cuerpo. No esposible ordenar el conjunto de los números complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
Ing. Diana Cabañas Hau.

Adición
 Para

sumar dos o (más) números complejos, se suman...