Numeros complejos

Números complejos

NÚMEROS COMPLEJOS
Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu)

MAPA CONCEPTUAL

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Definición

Fórmula de Cardano

NÚMEROS COMPLEJOS

Resolución de ecuaciones de segundo y tercer grado

Operaciones aritméticas

Propiedades
en forma binómica:

suma, resta, producto y divisiónTeorema de De Moivre

en forma polar:

Fórmula de Euler

producto, división, potenciación y radicación

Funciones hiperbólicas

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Números complejos

INTRODUCCIÓN

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A menudo los más pequeños nos preguntan: “Y cuánto vale la raíz de un número negativo?” y debemosresponderles: “No existe” Este math-block pretende dar respuesta a estas preguntas a partir de la resolución de la ecuaciones introduciendo lo que llamamos los números complejos. Para ello partimos de la ecuación sin solución real más sencilla que existe y que no posee solución en los números reales: z2 +1=0. Sus soluciones son la unidad imaginaria j (j2=-1) que nos permite resolver la raíz cuadrada decualquier número real negativo, en particular del 1. Sólo con esta información somos capaces de obtener todas las soluciones de ecuaciones de segundo y tercer grado, utilizando la fórmula de segundo grado y la fórmula de Cardano, respectivamente. A partir de aquí presentaremos la aritmética en los complejos que incluyen a los números reales así como algunas propiedades de interés.

OBJETIVOSDOCENTES ___
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Proporcionar una primera introducción a los números complejos, como soluciones de ecuaciones algebraicas. Desarrollar cierta soltura para calcular con ellos en los distintos formalismos. Ilustrar la resolución de ecuaciones y el cálculo con números complejos, en general, con el programa Mathcad.

CONOCIMIENTOS PREVIOS___________________________________

Es recomendable que, previamente, se dominen los siguientes apartados: • Ecuación de segundo grado. Su resolución. Gráfica a la que corresponde.

Asimismo también es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mínimo del programa Mathcad. Por lo tanto se recomienda la lectura previa de los Mathblocks: “Uso básico del Mathcad en Análisis (I): cálculo simbólico yanalítico”, “Funciones de una variable” y “Series de potencias”.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
• Los números reales

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El sistema numérico, como nosotros lo conocemos en la actualidad, es el resultado de una evolución gradual en la historia de las Matemáticas. Describimos brevemente los tipos de números que la humanidad ha ido descubriendo [1]. Los números naturales: 1, 2, 3,...., o también llamados enteros positivos. Fueron usados primero para contar. Los símbolos han cambiado con las épocas, pues los romanos, por ejemplo, utilizaban I, II, III, IV, .... . La suma, a + b , y el producto, a ⋅ b , de dos números naturales són también números naturales, lo cual se puede expresar diciendo que el conjunto de los números naturales es cerrado respecto a las operaciones desuma y producto o que cumple la propiedad de clausura con relación a estas operaciones. Los enteros negativos y el cero, después denotados por –1, -2, -3, .... y 0, respectivamente, que permiten resolver ecuaciones como x + b = a con a y b naturales, llevan a la

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Números complejos operación deresta, que se escribe x = a − b . El conjunto de enteros positivos y negativos con el cero se llama el conjunto de los enteros y es cerrado bajo las operaciones de suma, producto y resta. Los números racionales o fracciones, tales como 3/4, -8/3, ... permiten resolver ecuaciones de la forma bx = a para enteros cualesquiera a y b , con b ≠ 0 , los cuales conducen a la operación de división o...