Numeros Complejos

Vectores complejos

y números

INTRO. VECTORES. NÚM. COMPLEJOS
El presente tema se dedicará al estudio de los conceptos de vectores y números complejos. Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades fundamentales, así como de las bases y coordenadas. Después se hará un somero estudio de los números complejos, enlazándolo con la primera parte del tema y conla trigonometría vista en capítulos anteriores.

El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de algunamanera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican. Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc. Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección suroeste, ya que se llegaría a distinto lugar. Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (18621943) y Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales,aplicándolos a las técnicas del análisis matemático.

VECTORES FIJOS
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa por B A un segmento , siendo los extremos A y

le corresponden dos vectores fijos distintos:

y

.

Se considera como caso singular el vector fijo definido por un segmento cuyosextremos coinciden. En este caso el vector fijo se reduce a un solo punto. Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.

Módulo, dirección y sentido de un vector fijo

• En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
El módulo de un vector fijo se representa por y se leerá «módulo de ».

• Se dice queun vector fijo tiene la misma dirección que otro
definen pertenecen a rectas paralelas.

si los segmentos que los

• Dados dos vectores fijos

y

del plano que tengan la misma dirección, se dice que

tienen el mismo sentido si los segmentos y (los segmentos que unen el origen de cada uno con el extremo del otro) tienen un punto en común. En otro caso se dice que los dos vectores tienensentido contrario o sentido opuesto. También se puede decir que dos vectores de la misma dirección tienen el mismo sentido si la recta definida por sus orígenes deja a los extremos en el mismo semiplano. Estas dos definiciones son válidas en el caso en que los dos vectores se encuentren en distinta recta. Si los dos vectores se encontrasen en la misma recta, se buscaría un vector fijo en unarecta paralela que tuviese el mismo sentido que ambos. Si lo hubiese, se diría que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso se diría que los dos vectores tienen sentido contrario.

Vectores equipolentes Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Si y son equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

VECTORESLIBRES DEL PLANO
Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos del plano que son equipolentes a uno dado. Como todos los vectores fijos del plano consistentes en un solo punto son equipolentes, definen un único vector libre, que recibirá el nombre de vector cero, . Representantes de un vector libre A uno cualquiera de los vectores que constituyen un vector libre se le denomina...