numeros complejos

El conjunto de los n´ meros complejos
u
Jeffry Chavarr´ Molina
ıa
Marco Guti´rrez Montenegro
e
Natalia Rodr´
ıguez Granados
1 de febrero de 2013

2

´
Indice general

1. El conjunto de los n´meros complejos
u

5

1.1. Introducci´n al conjunto de los n´meros complejos . . . . . . . . . .
o
u

5

1.1.1. Soluci´n de ecuaciones cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . .
oa

9

1.2. Aritm´tica de los n´meros complejos en forma rectangular . . . . . .
e
u

12

1.2.1. Sistemas de ecuaciones con variable compleja . . . . . . . . .

20

´
1.3. Teorema Fundamental del Algebra (TFA) . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.4. La geometr´ de los n´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
u

30

1.4.1. Forma polar de un n´mero complejo . .. . . . . . . . . . . .
u

30

1.4.2. Paso de la forma polar a la forma rectangular de un n´mero complejo 35
u
1.4.3. Paso de la forma rectangular a la forma polar de un n´mero complejo 35
u
1.5. Aritm´tica de n´meros complejos en forma polar . . . . . . . . . . .
e
u

49

1.5.1. Multiplicaci´n y divisi´n de n´meros complejos en forma polar 50
o
o
u
1.5.2. Potencias enteras enforma polar . . . . . . . . . . . . . . . .

52

1.6. Ra´
ıces de n´meros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u

56

1.7. Forma exponencial de un n´mero complejo . . . . . . . . . . . . . .
u

67

1.7.1. Logaritmo natural complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

1.7.2. Potencias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3

4´
INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo 1

El conjunto de los n´meros
u
complejos

1.1.

Introducci´n al conjunto de los n´ meros complejos
o
u

Durante la ense˜anza de la matem´tica formal, el conjunto universo que corresponde
n
a
al conjunto de n´meros m´s grande que el estudiante conoce en un determinado nivel,
u
a
evoluciona en cada uno de los niveles en el cual se encuentra elestudiante.
Los diferentes universos usados por los estudiantes durante sus estudios formales en
primaria y secundaria, se presentan en la tabla 1.1, los mismos se ofrecen ordenados
de manera cronol´gica.
o
Nombre del
El conjunto
El conjunto
El conjunto
El conjunto
El conjunto
El conjunto

conjunto
de los n´meros
u
de los n´meros
u
de los n´meros
u
de los n´meros
u
de losn´meros
u
de los n´meros
u

naturales
racionales positivos
enteros
racionales
irracionales
reales

S´
ımbolo
IN
Q+
II
Z
Z
Q
II
II
IR

Tabla 1.1: Evoluci´n del conjunto universos en educaci´n formal
o
o
En los ultimos a˜os de la secundaria y al inicio de la educaci´n universitaria, el dia´
n
o
grama de la relaci´n entre los conjuntos num´ricos estudiados luce como semuestra
o
e
en la figura 1.2, donde es el conjunto de los n´meros reales el conjunto num´rico
u
e
m´s grande conocido hasta ahora.
a
En cursos de matem´tica m´s avanzados, los n´meros reales pueden estudiarse en
a
a
u
forma axiom´tica, o bien, pueden ser construidos a partir de los n´meros racionales,
a
u
de manera que se pueda asegurar la existencia de las ra´ cuadradas para todos losıces
n´meros positivos, lo que resulta muy conveniente desde el punto de vista geom´trico,
u
e
dado que el campo de los n´meros racionales no es el id´neo para dar respuesta a
u
o
5

6

1.1. Introducci´n al conjunto de los n´meros complejos
o
u

los problemas de ´
ındole geom´trico relacionados principalmente con el c´lculo de
e
a
distancias. A manera de ejemplo considere elsiguiente problema:

1 unidad

x

un

id
ad
es

Problema
Considere un cuadrado cuyos lados miden una unidad. Determine la medida
de su diagonal

1 unidad

Figura 1.1: Valor de la diagonal de un cuadrado

Para este problema en particular, se considera que dicha diagonal existe y por lo
tanto puede ser medida. Pero, es posible demostrar1 que dicha medida no se puede
expresar...