numeros complejos

























ÍNDICE

Introducción 4
Aplicaciones 4
Formas de expresión 5
Propiedades 5-6
Fórmula de Euler 6-7
Fórmula de Moivre 7
Logaritmo Neperiano 7
Potencia 8
Ejemplos 9-12
Conclusiones 13
Bibliografía 13

Introducción
Un número complejo z se define como un par ordenado de números reales x e y:
Z= (x,y)= x +  y;
x= Real , y =imaginario z; x e y perteneciente a R.
x es la parte real e y es la parte imaginaria del numero complejo z e y es el numero imaginario puro,  = (0,1) con 2 = -1
Los números complejos de la forma (0,y) se llaman imaginarios puros y los de la forma (x,0) se identifican con los números reales.
El conjunto de números complejos, que se denota por C contiene al de los reales R.

Aplicaciones delos números complejos
Una aplicación de los números complejos es el cálculo de impedancias equivalentes en redes eléctricas a corriente alterna. Antes es necesario introducir algunos conceptos de circuitos eléctricos. La impedancia eléctrica es la oposición al flujo de la corriente eléctrica a cualquier circuito. Los números complejos son usados en los moldeamientos matemáticos de procesosfísicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas.
Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda ancha, amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión eléctrica, centrales hidroeléctricas.
Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas (para los arquitectose ingenieros civiles), estudio de ondas(para los físicos), además se emplea en los estudios concernientes a la propagación del calor.
En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio.
Una herramienta fundamental es la llamada transformada de Fourier(esta herramienta se emplea para las aplicacionesanteriores) que usa intensivamente a los números complejos.

Otras Aplicaciones
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuandorepresentamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma

Donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden serunificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

Formas de expresión:
Forma binómica: z=a+b“a” es la parte real y se pone en el “eje x” y “b” es la parte imaginaria y se pone en el “eje y”)
Formacartesiana: z=(a,b)
Forma polar: z=m.α donde m= y α=arcotg 
Forma trigonométrica: z=m.(cosα+senα)
Mcosα parte real
Msenα parte imaginaria
Forma exponencial:

Propiedades de los números complejos respecto a la suma (con esta operación es un conjunto abeliano):
Elemento neutro:
[(a,b)+(0,0)] =(a,b)[(1,2)+(0,0)]=(1,2)
Conmutativa:
(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) (1,2)+(3,4)=(3,4)+(1,2)=(4,6)

Asociativa:
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)

Elemento opuesto:
Z=a+b -z=-a+(-b) tal que z+(-z)=0

Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
Z1=(a,b)
Z2=(c,d) Z1.(Z2+Z3)=Z1.Z2+Z1.Z3
Z3=(e,f)

Propiedades de los números complejos respecto a la multiplicación...