Numeros Complejos

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
E.T.I “Capitán Anselmo Belloso”
Área: Matemática
Profesor(a): Neuro Arrieta
San Francisco – Edo. Zulia



Números Complejos:
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designacomo, siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis,así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidadpara representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra-pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja-, que afirma que cualquier ecuaciónalgebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable o análisis complejo.

Origen:
El primero en usar los números complejos fue el matemáticoitaliano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, diferencial, geometría, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, tambiénabrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Definición
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re (z), Im (z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma


Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta

División


Alprimer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que  .

Cuerpo de los números complejos:
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter único ℂ). Siidentificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Unidad imaginaria:
Tomando en cuenta que , se define unnúmero especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,


Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

Valor absoluto o módulo de un número complejo:
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del...