numeros complejos


 
NUMEROS COMPLEJOS

Definición
Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:




Con estas operaciones C tienela estructura de cuerpo conmutativo

Elemento neutro: 

Elemento opuesto: 

Elemento unidad: 

Elemento inverso: , siempre que 

Nótese que el complejo (0,1) verifica , es decir, (link aexplicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas )

El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación algebraica(polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).


El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puede darse en C una relación deorden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer con los reales.
Otras formas derepresentar los números complejos
1. Forma binómica.
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como unplano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo sonsimultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores  y  su suma es 
 

 Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de  es .
El conjugado de un número complejo se define como su simétricorespecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de  es .
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.
 

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos...