Numeros complejos

Capítulo Números Complejos
. . El cuerpo de los complejos
Con los números reales en el horizonte vamos a presentar un cuerpo que se acostumbra a denotar por y llamar números complejos. Definición 1. El cuerpo está formado por todos los pares ordenados de números reales, en éste cuerpo se definen las operaciones siguientes: Suma Multiplicación

Igualdad
Como acabamos de definir los númeroscomplejos como pares ordenados se tiene que: Nota 1. Con estas definiciones es posible verificar los axiomas de cuerpo, cuya tarea dejaremos al lector. Nótese que El neutro de la suma es el El inverso de la suma es El neutro de la multiplicación es El inverso de la multiplicación es Nota 2. . .

Las propiedades o teoremas de todo cuerpo, como las que se expusieron para el caso de los númerosreales en el capítulo anterior, también los cumple . Notación Al inverso multiplicativo para cada elemento [ Definición 2. Sean definiremos: de , lo denotaremos por:

Definición 3. Dado se llama parte real de a la primera componente del par y parte imaginaria a la segunda componente, las que se acostumbran a denotar por: , Los complejos de la forma se acostumbran a llamar reales puros y simplementese denotan por es decir . A su vez los de la forma se llaman imaginarios puros y se denotan por Note que si También que

. . Representación gráfica. Complejo Conjugado.
Como se han definido los complejos como pares ordenados, es posible representarlos gráficamente en el plano cartesiano, por tanto el complejo está representado por el par ordenado fig. 1

y

b

z = (a,b)

o

a

xfig. 1 Definición 4. Sea definimos el producto de un real por un complejo mediante:

Propiedades 1. Sean 1. 2 3 4 5. Demostración. Todas son inmediatas por tanto se dejan propuestas. y entonces

Forma canónica.
Notemos que para todo complejo se tiene: lo que se justifica por la definición y notación establecida con anterioridad. Por tanto se llama forma canónica de un complejo a:

Conrespecto a las operaciones definidas anteriormente, se tienen: 1. 2. 3. se usó

Los inversos de la suma y multiplicación de y

son:

Complejo conjugado.
Definición 5. Sea por Propiedades 2. Sean 1. 2. 3. 4. 5. ! ! ! ! ! ! ! y se llama complejo conjugado de simbólicamente y se define

Demostración. Son todas sencillas, solo demostraremos dos de ellas. " Sean ! 4. ! ! ! luego !

. . Módulo.Sea número real se define el módulo del complejo ## Note que si el complejo es real puro su módulo coincide con su valor absoluto. Propiedades 3. simbólicamente # # al

1. # #$ 0, # # 2. # # 3. # # 4. # # 5. # ! # 6. ! # #! # # ## ! % # # ! #& # # # ' ! #& # # # # ! #& # # # ## # # # ##

7. # 8. #

Demostración. Solo demostraremos algunas de ellas, dejando el resto para su ejercicio. 4. 6.! # ## # ' %

## # # ! 8. # !# ## ## & ## luego: Propiedad 4. no es un cuerpo ordenado. Demostración. Lo demostraremos por contradicción, supongamos existe axiomas de cuerpo ordenado. Como % entonces ( que cumpla los # ! # #! # # # # ! ! ! ! # # pero ! # # ! ## # # ! ! ! ! # # ! ! & # !# # #! # # ! ! !!

! #& # #

Supóngase que pero en forma análoga se prueba que

)

(*)

lo que secontradice con (*), luego ) )

Por tanto no es un cuerpo ordenado y solo pueden usarse desigualdades entre partes reales o partes imaginarias o módulos de complejos, pero no entre estos.

. . Complejos y vectores.
Como se dijo anteriormente un complejo queda representado por un par ordenado en el plano cartesiano pero tambien se acostumbra a representarlo no por un punto sino por el vector queva desde el origen hasta el punto , introduciendo con ello la representatividad de complejos por medio de vectores geométricos con todo el potencial que implican tratarlos como tales. fig. 2 Es más, estos complejos representados así se consideran vectores deslizantes es por eso que cada complejo * o bien no tiene solamente un vector que lo representa. fig. 3 En el plano cartesiano al eje + se...