Numeros complejos

NÚMEROS COMPLEJOS.
Al determinar las raíces de una ecuación cuadrática del tipo:
x2+bx+c=0 se emplea la fórmula cuadrática .x=-b±b2-4ac2a
si b2-4c<0 entonces se introduce el número imaginario i= -1 de modo que i2= - 1el número i se conoce como número imaginario. Entonces para b2 – 4c<0
b2-4c=(4c-b2(-1)= 4c-b2i
Y las dos raíces de la ecuación están dadas por:
x1=-b2+4c-b2i2x2=-b2-4c-b2i2
Ejemplo: encuentre las raíces de la ecuación cuadrática x2+2x+5
Se tiene b=2, c= 5 y b2-4c = - 16 entonces: b2-4c=-16=16-1=4i y las raíces son:
x1=-22-45-22i2=-1-2i x2=-22+45-22i2=-1+2i
Un número complejo es un número de la forma:
z=α+βi
donde α y β son números reales α recibe el nombre de parte real de z y se denota por Re z, β se llama parte imaginaria de z y se denota Im z. enel ejemplo anterior Re de x1 =-1 Im de x1=-2
A la representación en un sistema de ejes coordenados se le conoce como representación cartesiana del número complejo z para esto la parte real se grafica sobre el eje x y la parte imaginaria sobre el eje y.
1-i
1-i
-1-i
-1-i
-1+i
-1+i
1+i
1+i
y=Im z
y=Im z
x=Re z
x=Re z

Si β=0 entonces z=α es un número real. Si α=0 el número esimaginario puro.
Los números complejos se pueden sumar y multiplicar usando las reglas ordinarias del algebra. Pero debe de tomarse muy en cuenta que i2 = - 1
Ejemplo:
Sea z=2+3i y w=5-4i
z+w=(2+5)+(3i-4i)=(2+5)+(3-4)i=7-i
zw=(2+3i)(5-4i)=10-8i+15i-12i2=22+7i
3w-5z=[3(5-4i)]-[5(2+3i)]=(15-12i)-(10+15i)=5-27i

Conjugado: si z=α+βi, entonces el conjugado de z, denotado por z se define como:
z
zz
z
0
0
0
0
z=α ̶ βi

Magnitud: si z=α+βi, la magnitud de z, denotada por |z| = α2+β2 y el argumento de z denotado por arg z, se define como el ángulo θ entre la recta 0z y el eje x positivo.
Por definición : -π < arg z ≤ π
r = |z| es la distancia desde z hasta el origen. Si α>0 entonces:

z=α+iβ=reiθ
z=α+iβ=reiθ

β
β

β=r sen θ
β=r sen θ
r
r

θ
θ

α
α
0
0α=r cos θ
α=r cos θ


θ =arg z = tan-1 βα
Recuérdese que tan -1 x siempre toma valores en el intervalo (-π2, π2 ). Si α=0 y β>0, entonces
θ= arg z = π2. Si α=0 y β<0, entonces θ= arg z = - π2. Si α<0 y β>0 entonces θ está en el segundo cuadrante y está dada por:
θ = arg z = π – tan -1 βα
por último si α<0 y β<0, entonces θ está en el tercer cuadrante y
θ= arg z = -π + tan -1 βα

Argumento de z
Sea z=α+iβ; entonces
arg z = tan -1 βα si α>0
arg z = π2 si α=0 y β>0
arg z =- π2 si α=0 y β<0
arg z = π- tan-1 βα si α<0 y β>0
arg z = tan-1 βα -π si α<0 y β<0
arg 0 no está definido.
|z| =|z|
arg z = -arg z



-θ
-θ
θ
θ

Se pueden emplear |z| y arg z para describir los números complejos deuna forma que es a menudo más conveniente.
Si z=α + iβ, r= |z|, y θ = arg z entonces:
α= r cos θ y β = r sen θ por lo que z se puede expresar como: z= r (cos θ + i sen θ) o bien como z = r eiθ donde eiθ = cos θ + i sen θ. Esta representación se conoce como forma polar
Como cos (-θ) = cos (θ) y sen (-θ) = - sen (θ)
e-iθ = cos ( ̶ θ) + i sen (-θ) = cos (θ) – i sen(θ)
Ejemplos:Determine las formas polares de los siguientes números complejos
a) y=Im z
x=Re z
0
1
y=Im z
x=Re z
0
1
1

De la figura anterior es evidente que arg 1 =0. Como Re = 1, se ve que, en la forma polar, 1=1ei0 = 1
b) y=Im z
x=Re z
0
-1
π
y=Im z
x=Re z
0
-1
π
– 1

Como r= 1 y arg (-1)= π se tiene – 1 = 1eπi
c) i
y=Im z
x=Re z
0
1
π/2
y=Im z
x=Re z
0
1
π/2r=02+12=1 y el arg de i =π/2 i=eiπ/2
d) 1+i
y=Im z
y=Im z

i
i
1+i
1+i

0
0
1
1
x=Re z
x=Re z

r=12+12=2 arg (1+i) tan-1 11 = π/4 de modo 1+i= 2eiπ4
e) -1-3i
-1
-1
0
0

-3i
-3i

-1-3i
-1-3i

r=(-1)2+(3)2=2 el arg = tan-1βα=tan-13=π3 Sin embargo se encuentra en el tercer cuadrante por lo tanto θ = π3-π=-23π De modo que – 1- 3 =2e-23πi
f) Arg z =...