Numeros complejos

Matemática
5to C.B.O. Profesora: Mariana Soplan Ciclo lectivo 2012

UNIDAD I
“NÚMEROS COMPLEJOS”
Ampliación del campo numérico. Representación grafica y expresión cartesiana de un complejo. Expresión binómica de un complejo. Números complejos, conjugados y opuestos. Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Potencias de i. Cuadrado y cubo de un número complejo. • Ecuaciones. • • •• •

INTRODUCCIÓN
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra ). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las Matemáticas, en muchos de la F Física (y notoriamente en la Mecánica cuántica) y en ingeniería, ecánica especialmente en la electrónica y lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de expresar las raíces de orden par de los números negativos. Con los números complejos podemos expresar todas las raíces de un polinomio, algo que con los números reales no podíamos lograr. - Un número imaginario es unnúmero cuyo cuadrado es negativo. Este concepto fue cuadrado desarrollado por Leonhard Eule en 1777, cuando definió: Euler es decir, lo que nosotros llamaremos “unidad imaginaria ”. - El Conjunto de los Números Complejos se denota con la letra C. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a,b), a la primer componente ( ) se le llama parte real y a la segunda ( ), parte b),imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que =0


Representación grafica y expresión cartesiana de un complejo Al tratarse de un par de elementos (a, b), todo número complejo es susceptible de representarse en un eje de coordenadas cartesianas, donde a sería la abscisa y b la ordenada. Esta manera derepresentación se denomina forma cartesiana cartesiana. En el siguiente grafico se muestra la grafica en el plano de un n número complejo
.

Actividad 1.1 Graficar los siguientes números complejos:

,

,

,

,

Expresión binómica de un complejo Un número complejo se representa en forma binómica como: . La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras,como se muestra a continuación: Ejemplo: 8. 2 8 , aquí la parte real es 2 y la parte imaginaria es

Números complejos, conjugados y opuestos El conjugado de un complejo (denotado como complejo, definido así: 3 5 ! 3 5 ) es un nuevo número

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. El opuesto de un número complejo z (denotado como complejo definido así: 1 3 ! 1 3 ), esun número

Se observa que ambos difieren en ambos signos, tanto de la parte imaginaria y de la parte real.

Actividad 1.2 Completa el siguiente cuadro
Expresión cartesiana Expresión binómica # #

4,5 1 3 2 8 1

Operaciones
Suma y Diferencia La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. Ejemplo Sean los númeroscomplejos, % 2 3 y & 1 5 , se calcula: 2 3 1 5 2 1 3 5 3 2 % &

%

&

2

3

1

5

2

1

3

5

1

8

Otros ejemplos 3 i 1 0.5 4i
9 7i

3i 1.5
9 7i

3 i

1 i 3i 0,5 1,5
18 i 0 9 i

4 2i 4i i
9 i 18

1
7i

5i
7i i

Actividad 1.3 Resuelve los siguientes cálculos utilizando los números complejos: 3 1 3 2 6 % & , . 5 7 5

a b c

% & . ,

, , & %

.% , ,

d)

Multiplicación de números complejos El produ cto d e l os nú me ros c o mp lejos se realiza aplicando la propiedad dis tribu tiva del producto respecto de la su ma y tenie ndo en cuenta que i 2 = −1, esto respon de a lo dicho ant erio rme nte que la unidad i ma ginaria surge de √ 1 Ejemplo Sean los números complejos, 4 . %. & 2 4 3 3 y 2.1 1 1 2. 2 2 2 Otros ejemplos 5 2
3
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