Numeros complejos

Matemáticas 1 1
Elena Álvarez Sáiz

EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Números Complejos

Interpretación geométrica de la suma y el producto

1

Si z1 y z 2 son complejos, ¿qué representa el número

z1 + z 2 2

. ¿Cuál es el lugargeométrico de los puntos

λz1 + µz 2 si λ y µ son reales y verifican λ + µ = 1 ?

Solución:

Gráficamente el afijo del número complejo z1 + z 2 2 = x1 + x 2 2 +i y1 + y2 2

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número complejo z1 + z 2

•

Los puntos de la forma λz1 + µz 2 son los puntos de la recta
λz1 + µz 2 = ( 1 − µ ) z1 + µz 2 = z1 + µ ( z 2 − z1 )es decir, la recta que pasa por z1 y cuyo vector director es z 2 − z1 .

2

Demuéstrese que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces: z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

z 3 − z1 z 2 − z1 z1 − z 2 z 3 − z2
ya que

=

z 3 − z1 e z 2 − z1 e

i arg(z 3 −z1 ) i arg(z 2 −z1 )

=e

π

3

i

=

z1 − z 2 e

i arg( z1 −z 2 ) iarg( z 3 −z1 )

=e

π

3

i

z 3 − z2 e

arg ( z 3 − z1 ) = arg ( z 2 − z1 ) +

π 3

2

Profesora: Elena Álvarez Sáiz

Ejercicios: Números Complejos

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

arg ( z 3 − z 2 ) + Por lo tanto, z 3 − z1 z 2 − z1 = z1 − z 2 z 3 − z2

π = arg ( z1 − z 2 ) 3

⇒ z 32 − z1z 3 − z 2z 3 + z 2z1 = z 2z1 − z 22 − z12 + z1z 2 ⇒ ⇒z12 + z 22 + z 32 = z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3

Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados z1 , z 2 , z 3 son los tres diferentes verificando triángulo equilátero. z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 entonces forman un

Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: z * = z − z1 . Los números son ahora:
* * { 0, z 2 − z1, z 3 − z1 } = { 0, z2 , z 3 }

Entonces, la igualdad z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 se transforma en z 2*z 3* = z 2*2 + z 3*2 despejando
*2 * * *2 z 3 − z2 z 3 + z 2 = 0

⇒
resolvemos la ecuación de segundo * grado en z 3

* z3 =

1 * *2 *2 z 2 + z 2 − 4z 2 2

(

)

⇒

* ⇒ z3 =

1 * z2 ± 2

(

* 3i z 2

)

  1 * * 1 ⇒ z3 = z2  ± 3i     2 2    1 1 ± 3 i = 1 se tiene 22

* * Esto significa que z 3 es z 2 girado * * que z 3 = z 2 . Por lo tanto,

π 3

radianes (60 grados) y como

* { 0, z 2*, z 3 } { z1, z2* + z1, z2* + z1 − z1 } = { z1, z 2, z 3 } .

forman un triángulo equilátero lo que significa que

3

Un triangulo equilátero tiene su centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros dos vértices.

Profesora: ElenaÁlvarez Sáiz

S

3

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Números Complejos

Los ángulos que forman dos lados de un triángulo equilátero son de avanzar

π radianes, luego hay que 3

π π 2π + = . Por lo tanto, como uno de los vértices es z1 = 1 = e 2πi , se tiene que 2 3 3
z 2 = e 2πie z 3 = e 2πie
2 πi 2 πi 3

=e

2 πi

3

= cos

2π 2π −1 3 +isen = + i 3 3 2 2 4π 4π −1 3 + isen = − i 3 3 2 3

3e

2 πi

3

=e

4 πi

3

= cos

son los otros dos. En forma binómica

 3   −1 3   ,    (1, 0),  −1 ,   2 ,−   2 2    2    Otra forma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de z1 , z 2 , z 3 forman un triángulo equilátero entonces
z1 = z 2 = z 3

y el ángulo entre 0z1 y 0z 2 es elmismo que entre 0z 2 y 0z 3 y el mismo que entre 0z 2 y

0z1 . Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,
3

1 =e

2k π i 3

k = 0,1, 2 ⇒ z1 = e 0i , z 2 = e

2π i 3 ,

z3 = e

4π i 3

Coordenadas complejas conjugadas

4

Hállese la ecuación de la circunferencia a(x 2 + y 2 ) + 2bx + 2cy + d = 0 en función de las coordenadas...