Numeros Complejos

Números complejos

NÚMEROS COMPLEJOS
Autor:

Patrici

Molinàs

Mata

(pmolinas@uoc.edu),

José

Francisco

Martínez

Boscá

(jmartinezb@uoc.edu)

MAPA CONCEPTUAL

________________________

Definición

Fórmula
de
Cardano

NÚMEROS
COMPLEJOS

Resolución de
ecuaciones de
segundo y
tercer grado

Operaciones
aritméticas

Propiedades
en forma binómica:suma, resta, producto y división

en forma polar:

producto, división, potenciación y radicación

Teorema de
De Moivre

Fórmula de Euler

Funciones
hiperbólicas

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Números complejos

INTRODUCCIÓN

___________________

A menudo los más pequeños nos preguntan: “Y cuánto vale la raíz deun número negativo?” y
debemos responderles: “No existe” Este math-block pretende dar respuesta a estas preguntas a
partir de la resolución de la ecuaciones introduciendo lo que llamamos los números complejos.
Para ello partimos de la ecuación sin solución real más sencilla que existe y que no posee
solución en los números reales: z2 +1=0. Sus soluciones son la unidad imaginaria j (j2=-1) quenos
permite resolver la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, en particular del 1. Sólo con
esta información somos capaces de obtener todas las soluciones de ecuaciones de segundo y
tercer grado, utilizando la fórmula de segundo grado y la fórmula de Cardano, respectivamente. A
partir de aquí presentaremos la aritmética en los complejos que incluyen a los números reales así
comoalgunas propiedades de interés.

OBJETIVOS DOCENTES ___

___________________________________

•

Proporcionar una primera introducción a los números complejos, como soluciones de ecuaciones
algebraicas.

•

Desarrollar cierta soltura para calcular con ellos en los distintos formalismos.

•

Ilustrar la resolución de ecuaciones y el cálculo con números complejos, en general, con elprograma Mathcad.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

___________________________________

Es recomendable que, previamente, se dominen los siguientes apartados:
•

Ecuación de segundo grado. Su resolución. Gráfica a la que corresponde.

Asimismo también es muy aconsejable que se tenga un conocimiento mínimo del programa Mathcad.
Por lo tanto se recomienda la lectura previa de los Mathblocks:“Uso básico del Mathcad en Análisis
(I): cálculo simbólico y analítico”, “Funciones de una variable” y “Series de potencias”.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
•

______________________________

Los números reales

El sistema numérico, como nosotros lo conocemos en la actualidad, es el resultado de una evolución
gradual en la historia de las Matemáticas. Describimos brevemente los tipos de númerosque la
humanidad ha ido descubriendo [1].
Los números naturales: 1, 2, 3, ...., o también llamados enteros positivos. Fueron usados
primero para contar. Los símbolos han cambiado con las épocas, pues los romanos, por
ejemplo, utilizaban I, II, III, IV, .... . La suma, a + b , y el producto, a ⋅ b , de dos números
naturales són también números naturales, lo cual se puede expresar diciendo que elconjunto
de los números naturales es cerrado respecto a las operaciones de suma y producto o que
cumple la propiedad de clausura con relación a estas operaciones.
Los enteros negativos y el cero, después denotados por –1, -2, -3, .... y 0, respectivamente,
que permiten resolver ecuaciones como x + b = a con a y b naturales, llevan a la

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operación de resta, que se escribe x = a − b . El conjunto de enteros positivos y negativos
con el cero se llama el conjunto de los enteros y es cerrado bajo las operaciones de suma,
producto y resta.
Los números racionales o fracciones, tales como 3/4, -8/3, ... permiten resolver
ecuaciones de la forma bx = a para enteros...