Numeros Complejos

NUMEROS COMPLEJOS

DEFINICION

Llamaremos [pic]a la unidad imaginaria. Un número complejo se define como u=a+bi (forma binómica) donde a se llama parte real y b se llama parte imaginaria. En su representación gráfica el extremo del vector se llama afijo del nº complejo.


OPERACIONES

SUMA

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los realescon los reales y los imaginarios con los imaginarios:
[pic]

Ejemplo:

[pic]
el resultado es 7 + 4i

RESTA:
Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:
[pic]

MULTIPLICACION
Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:
[pic]
Ejemplo:
Obsérvese que eltérmino [pic]pasa a ser [pic]. Eso es porque [pic]. Ejemplo:y asi queda
[pic]


DIVISION

a división de números complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicación y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado un número real:
[pic]
si la división de dos números complejos, la multiplicamos y dividimos porel conjugado del denominador:
[pic]

[pic]

POTENCIA

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables. Se debe tener en cuenta la igualdad [pic]:
[pic]


FORMA POLAR. PASO DE BINÓMICA A POLAR
Dado un complejo en forma binómica u=a+bi definimos su módulo r como [pic]y su argumento como [pic].
La expresión r(arg) la llamaremosforma polar del número complejo u.

PASO DE POLAR A BINÓMICA
La parte real de un complejo u=r(arg) es a=r.cos(arg) y la parte imaginaria es b=r.sen(arg), con lo cual su forma binómica será u=r.cos(arg)+r.sen(arg)i.

PROPIEDADES

|Elemento neutro: [pic] |
|[pic]|Elemento opuesto: [pic] |
|[pic] |Elemento unidad: [pic] |
|[pic] |Elemento inverso: [pic], siempre que |
||[pic] |
| |[pic] |


Nótese que el complejo (0,1) verifica [pic], es decir, [pic](link a explicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas [pic])

FORMA BINÓMICA.
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a[pic], de este modo se tiene:
[pic]
Gráficamente, podemos representar [pic](y por tanto C) como un plano.

[pic]
Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo derepresentación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dos vectores [pic]y [pic]su suma es [pic]

[pic]

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si [pic], entonces el módulo de [pic]es [pic].
El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si [pic], entonces el conjugadode [pic]es [pic].
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.
[pic]
Es fácil ver que se cumple, [pic], por tanto podemos expresar el inverso de un número [pic]en la forma [pic].
En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números...