numeros complejos

Número complejo
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Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjuntode los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, asícomo de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad pararepresentar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuaciónalgebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1
Índice
1 Origen
2 Definición
2.1 Cuerpo de los númeroscomplejos
2.2 Unidad imaginaria
3 Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado
3.1 Valor absoluto o módulo de un número complejo
3.2 Argumento
3.3 Conjugado de un número complejo
4 Representaciones
4.1 Representación binómica
4.2 Representación polar
4.3 Operaciones en forma polar
5 Plano de los números complejos o Diagrama de Argand
6 Geometría y operaciones con complejos
7 Esbozohistórico
8 Aplicaciones
8.1 En matemáticas
8.1.1 Soluciones de ecuaciones polinómicas
8.1.2 Variable compleja o análisis complejo
8.1.3 Ecuaciones diferenciales
8.1.4 Fractales
8.2 En física
9 Generalizaciones
10 Véase también
11 Referencias
11.1 Bibliografía
11.2 Enlaces externos
Origen
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576)quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el caminopara el uso general y sistemático de los números complejos.
Definición
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta

División


Al primer componente (quellamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que .
Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número...