numeros complejos

Conjugado de un número complejo

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejoa + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Asíse escribirá:




Propiedades de los conjugados
• Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.Demostración:

En efecto si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

• Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a lasuma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que


Demostración:
Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:

= a + bi y ' = c - di , con lo que + ' = (a + bi ) + (c- di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:


y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

• Tercera propiedad
El conjugado del producto de dosnúmeros complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:



Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z • z = (ac - bd )+ (ad + bc)i , cuyo conjugado es = (ac - bd) - (ad + bc)i .
Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que
• ' = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
Elresultado es igual al anterior.


• Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con suconjugado. Esto equivale a que

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

• Quinta propiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado...